एबेल्या पुरस्कार

कुछ पाठक हाबिल नाम के बारे में कुछ भी कहेंगे। नहीं, यह उस अभागे युवक के बारे में नहीं है जिसे उसके ही भाई कैन ने मार डाला। मैं नॉर्वेजियन गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल (1802-1829) और उनके नाम पर दिए गए पुरस्कार का जिक्र कर रहा हूं, जो अभी-अभी (16 मार्च, 2016) नॉर्वेजियन एकेडमी ऑफ साइंसेज द्वारा प्रदान किया गया है और सर एंड्रयू जे. विल्स को लिखे गए पत्र हैं। यह दुनिया के सबसे महत्वपूर्ण विज्ञान पुरस्कार की श्रेणी रैंकिंग में अल्फ्रेड नोबेल द्वारा छोड़े गए गणितज्ञों की भरपाई करता है।

यद्यपि गणितज्ञ तथाकथित की सराहना करते हैं। फील्ड्स मेडल (आधिकारिक तौर पर अपने क्षेत्र में उच्चतम लॉरेल माना जाता है), यह केवल 15 हजार से जुड़ा है। (लाखों नहीं, हजारों!) विजेता तक कैनेडियन डॉलर हाबिल पुरस्कार अपनी जेब में 6 मिलियन नॉर्वेजियन क्रोनर (लगभग 750 8 यूरो) का चेक डालता है। नोबेल पुरस्कार विजेताओं को 865 मिलियन SEK, या लगभग XNUMX हजार मिलते हैं। यूरो - एक बड़ा टूर्नामेंट जीतने के लिए टेनिस खिलाड़ियों से कम। कई संभावित कारण हैं कि क्यों अल्फ्रेड नोबेल ने संभावित पुरस्कार विजेताओं में गणितज्ञों को शामिल नहीं किया। नोबेल का वसीयतनामा "आविष्कारों और खोजों" से संबंधित है जो मानव जाति के लिए सबसे बड़ा लाभ लाते हैं, लेकिन शायद सैद्धांतिक नहीं, बल्कि व्यावहारिक। गणित को ऐसा विज्ञान नहीं माना जाता था जो मानव जाति के लिए व्यावहारिक लाभ ला सके।

हाबिल क्यों?

कौन था नील्स हेनरिक एबेल और वह किस लिए प्रसिद्ध थे? वह अवश्य ही मेधावी रहे होंगे, क्योंकि यद्यपि केवल 27 वर्ष की आयु में तपेदिक से उनकी मृत्यु हो गई, फिर भी वे गणित में स्थायी स्थान पाने में सफल रहे। खैर, पहले से ही जूनियर हाई स्कूल में वे हमें समीकरण हल करना सिखाते हैं; पहले डिग्री, फिर वर्ग, और कभी-कभी घन। चार सौ साल पहले ही, इतालवी वैज्ञानिक इससे निपटने में सक्षम थे चतुर्थक समीकरणवह भी जो निर्दोष दिखता है:

और किस तत्व में से एक

हाँ, वैज्ञानिक XNUMXवीं सदी में ही ऐसा कर सकते थे। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि उच्च डिग्री के समीकरणों को ध्यान में रखा गया था। और कुछ नहीं। दो सौ वर्षों में कोई भी सफल नहीं हुआ। नील्स एबेल भी असफल रहे. और तब उसे एहसास हुआ कि...शायद यह बिल्कुल भी संभव नहीं है। इसे सिद्ध किया जा सकता है ऐसे समीकरण को हल करने की असंभवता - या बल्कि सरल अंकगणितीय सूत्रों में समाधान व्यक्त करना।

यह 2 में से पहला था। इस प्रकार के तर्क के वर्ष (!): कुछ सिद्ध नहीं किया जा सकता, कुछ किया नहीं जा सकता। ऐसे प्रमाणों पर एकाधिकार गणित का है - व्यावहारिक विज्ञान अधिक से अधिक बाधाओं को तोड़ रहा है। 1888 में, अमेरिकी पेटेंट आयोग के अध्यक्ष ने घोषणा की कि "भविष्य में कुछ आविष्कारों की उम्मीद की जा सकती है, क्योंकि लगभग सब कुछ पहले ही आविष्कार किया जा चुका है।" आज हमारे लिए इस पर हंसना भी मुश्किल है... लेकिन गणित में एक बार सिद्ध हो जाने के बाद यह खो जाता है। यह नहीं किया जा सकता।

मैंने जिस खोज का वर्णन किया है, इतिहास उसे बीच में बांटता है नील्स एबेल i एवरिस्टा गैलोइसदोनों, "देवताओं के चुने हुए" के रूप में, तीस वर्ष की आयु से पहले मर गए, उनके समकालीनों द्वारा उन्हें कम आंका गया। नील्स एबेल व्यापक ख्याति वाले कुछ नॉर्वेजियन गणितज्ञों में से एक हैं (वास्तव में दो, अन्य हैं) सोफस ली, 1842-1899 - नाम स्कैंडिनेवियाई नहीं लगते, लेकिन दोनों मूल नॉर्वेजियन थे)।

नॉर्वेजियन स्वेड्स के साथ हैं - दुर्भाग्य से, यह पड़ोसी लोगों के बीच आम है। नॉर्वेजियन द्वारा एबेल पुरस्कार की स्थापना के उद्देश्यों में से एक अपने हमवतन अल्फ्रेड नोबेल को दिखाने की इच्छा थी: कृपया, हम बदतर नहीं हैं।

गैर-मौजूद मार्जिन प्रविष्टि का पीछा करना

यहां आपके लिए नील्स हेनरिक एबेल हैं। अब पुरस्कार के विजेता, एक 63 वर्षीय अंग्रेज (संयुक्त राज्य अमेरिका में रहने वाले) के बारे में। 1993 में उनकी उपलब्धि की तुलना केवल एवरेस्ट पर चढ़ने, चंद्रमा पर चढ़ने या ऐसा ही कुछ करने से की जा सकती है। कौन है सर एंड्रयू विल्स? यदि आप उनके प्रकाशनों की सूची और विभिन्न संभावित उद्धरण अनुक्रमणिकाओं को देखें, तो वे एक अच्छे वैज्ञानिक होंगे - ऐसे हजारों हैं। हालाँकि, उन्हें महानतम गणितज्ञों में से एक माना जाता है। उनका शोध संख्या सिद्धांत से संबंधित है और संबंधों का उपयोग करता है बीजगणितीय ज्यामिति ओराज़ी प्रतिनिधित्व सिद्धांत.

वह एक ऐसी समस्या को हल करने के लिए प्रसिद्ध हुए जो गणित की दृष्टि से पूरी तरह अप्रासंगिक थी फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण (उन लोगों के लिए जो मेरा मतलब नहीं जानते, नीचे देखें)। हालाँकि, वास्तविक मूल्य स्वयं समाधान नहीं था, बल्कि एक नई शोध पद्धति का निर्माण था जिसका उपयोग कई अन्य महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने के लिए किया गया था।

मानवीय उपलब्धियों के पदानुक्रम पर, कुछ मामलों के अर्थ पर विचार न करना असंभव है। सैकड़ों-हजारों युवा दूसरों से बेहतर गेंद को किक करने का सपना देखते हैं, हजारों लोग खुद को हिमालयी हवाओं के संपर्क में लाना चाहते हैं, पुल पर रबर से कूदना चाहते हैं, ऐसी आवाजें निकालते हैं जिन्हें वे गाना कहते हैं, दूसरों में अस्वास्थ्यकर भोजन भरना चाहते हैं... या हल करना चाहते हैं किसी के लिए भी एक अनावश्यक समीकरण। माउंट एवरेस्ट के प्रथम विजेता, सर एडवर्ड हिलेरी, सीधे इस सवाल का जवाब दिया कि वह वहां क्यों गया: "क्योंकि वह है, क्योंकि एवरेस्ट है!" इन शब्दों के लेखक जीवन भर गणितज्ञ रहे, यह मेरे जीवन का नुस्खा था। एकमात्र सही! लेकिन आइए इस दर्शन को समाप्त करें। आइए गणित के स्वस्थ पथ पर वापस आएं। फ़र्मेट के प्रमेय के बारे में इतना हंगामा क्यों?

मुझे लगता है कि हम सभी जानते हैं कि वे क्या हैं प्रमुख संख्या. निश्चित रूप से हर कोई "फैक्टराइज़" वाक्यांश को समझता है, खासकर जब हमारा बेटा घड़ी को भागों में बदल देता है।

पियरे डी फ़र्मेट (1601-1665) टूलूज़ के एक वकील थे, लेकिन उन्होंने गणित को एक शौकिया के रूप में भी निपटाया और काफी अच्छे परिणाम प्राप्त किए, क्योंकि वे गणित के इतिहास में संख्या सिद्धांत और विश्लेषण के कई प्रमेयों के लेखक के रूप में दर्ज हुए। उनकी आदत थी कि वे जो भी किताबें पढ़ते थे, उसमें अपनी टिप्पणियाँ हाशिये पर रख देते थे। और यह सही है - 1660 के आसपास उन्होंने एक हाशिए में लिखा:

यहां आपके लिए पियरे डी फ़र्मेट है। उनके समय से (और मैं आपको याद दिला दूं कि बहादुर गैसकॉन रईस डी'आर्टागनन उस समय फ्रांस में रहते थे, और आंद्रेज किमित्सिच ने पोलैंड में बोगुस्लाव रैडज़विल से लड़ाई की थी), सैकड़ों, और शायद हजारों महान और छोटे गणितज्ञों ने पुनर्निर्माण करने की असफल कोशिश की। एक शानदार शौकिया का खोया हुआ तर्क। हालाँकि आज हमें यकीन है कि फ़र्मेट का प्रमाण सही नहीं हो सकता है, लेकिन यह सरल प्रश्न परेशान करने वाला था समीकरण एक्सⁿ + yⁿ = जीⁿ, n> 2 का समाधान प्राकृतिक संख्याओं में है? यह उतना कठिन हो सकता है.

23 जून, 1993 को काम पर आए कई गणितज्ञों को अपने ई-मेल (जो उस समय एक ताज़ा, अभी भी गर्म आविष्कार था) में एक संक्षिप्त संदेश मिला: "ब्रिटेन से अफवाहें: विल्स ने फ़र्मेट को साबित किया।" अगले दिन, दैनिक प्रेस ने इसके बारे में लिखा, और विल्स के व्याख्यानों की श्रृंखला के अंतिम भाग में प्रेस, टेलीविजन और फोटो जर्नलिस्ट एकत्र हुए - बिल्कुल एक प्रसिद्ध फुटबॉलर के सम्मेलन की तरह।

जो कोई भी कोर्नेल माकुस्ज़िन्स्की द्वारा लिखित "सातवीं कक्षा का शैतान" पढ़ता है, उसे निश्चित रूप से याद है कि इतिहास के प्रोफेसर के भाई श्री इवो गोसोव्स्की ने क्या किया था, जिनके छात्र प्रश्न प्रणाली की खोज एडास सिसोव्स्की ने की थी। इवो ​​गोसोव्स्की बस फ़र्मेट के समीकरण को हल कर रहे थे, समय, संपत्ति बर्बाद कर रहे थे और अपने घर की उपेक्षा कर रहे थे:

अंततः, श्री इवो को समझ आया कि वह शक्तियों की गणना से परिवार की ख़ुशी सुनिश्चित नहीं कर पाएंगे और उन्होंने हार मान ली। माकुस्ज़िन्स्की को विज्ञान पसंद नहीं था, लेकिन वह श्री गोसोव्स्की के बारे में सही थे। इवो ​​गोसोव्स्की ने एक बुनियादी गलती की। वह सही अर्थों में विशेषज्ञ बनने की कोशिश नहीं कर रहा था, वह एक शौकिया की तरह काम कर रहा था। एंड्रयू विल्स एक पेशेवर हैं।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विरुद्ध लड़ाई की कहानी दिलचस्प है। इसे काफी सरलता से देखा जा सकता है कि जो घातांक अभाज्य संख्याएँ हैं, उनके लिए उन्हें हल करना पर्याप्त है। n = 3 के लिए समाधान 1770 में दिया गया था। लियोनार्ड यूलर, एन = 5 के लिए - पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट (एक्सएनएनएक्स) और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे 1830 में, और n = 7 पर – गेब्रियल लेम 1840 में. XNUMXवीं शताब्दी में, जर्मन गणितज्ञ ने अपनी अधिकांश ऊर्जा फ़र्मेट की समस्या पर समर्पित की अर्न्स्ट एडवर्ड कुमेर (1810-1893)। हालाँकि उन्हें अंतिम सफलता नहीं मिली, लेकिन उन्होंने कई विशेष मामलों को साबित किया और अभाज्य संख्याओं के कई महत्वपूर्ण गुणों की खोज की। अधिकांश आधुनिक बीजगणित, सैद्धांतिक अंकगणित और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की उत्पत्ति फ़र्मेट के प्रमेय पर कुमेर के काम से हुई है।

शास्त्रीय संख्या सिद्धांत के तरीकों से फ़र्मेट की समस्या को हल करते समय, उन्हें जटिलता के दो अलग-अलग मामलों में विभाजित किया गया था: पहला, जब हम मानते हैं कि उत्पाद xyz घातांक n के साथ सहअभाज्य है, और दूसरा, जब संख्या z समान रूप से विभाज्य है प्रतिपादक. दूसरे मामले में, यह ज्ञात था कि n = 150 तक कोई समाधान नहीं था, और पहले मामले में, n = 000 (लेहमर, 6) तक। इसका मतलब यह था कि किसी भी मामले में एक संभावित प्रति-उदाहरण असंभव होगा: इसे प्राप्त करने के लिए अरबों अंकों के बिल की आवश्यकता होगी।

यहां आपके लिए एक पुरानी कहानी है. 1988 की शुरुआत में, गणितीय दुनिया में यह ज्ञात हो गया था योइची मियाओका कुछ असमानता साबित हुई, जिससे निम्नलिखित का पालन हुआ: यदि केवल घातांक n पर्याप्त बड़ा है, तो फ़र्मेट के समीकरण का निश्चित रूप से कोई समाधान नहीं है। जर्मन के थोड़े पहले के परिणाम की तुलना में गर्ड फाल्टिंग्स (1983) मियाओका के परिणाम का मतलब था कि यदि समाधान हैं, तो (आनुपातिकता के संदर्भ में) उनकी केवल एक सीमित संख्या है। इस प्रकार, फ़र्मेट की समस्या का समाधान कई मामलों के अंत को सूचीबद्ध करने तक सिमट कर रह गया है। दुर्भाग्य से, उनमें से कितने ज्ञात नहीं थे: मियाओका द्वारा इस्तेमाल की गई विधियों ने यह अनुमान लगाने की अनुमति नहीं दी कि कितने पहले से ही "क्रम में" थे।

यहां यह ध्यान देने योग्य है कि कई वर्षों तक फ़र्मेट के प्रमेय का अध्ययन शुद्ध संख्या सिद्धांत के ढांचे के भीतर नहीं, बल्कि बीजगणितीय ज्यामिति के ढांचे के भीतर किया गया था, बीजगणित से प्राप्त एक गणितीय अनुशासन और कार्टेशियन विश्लेषणात्मक ज्यामिति का विस्तार, और अब लगभग हर जगह फैल रहा है: गणित की नींव (तर्क में सिद्धांत टॉपोई) से, गणितीय विश्लेषण (कोहॉमोलॉजिकल तरीकों, कार्यात्मक शीव्स), शास्त्रीय ज्यामिति के माध्यम से, सैद्धांतिक भौतिकी (वेक्टर बंडल, ट्विस्टर स्पेस, सॉलिटॉन) तक।

जब सम्मान कोई मायने नहीं रखता

उस गणितज्ञ के भाग्य से दुखी न होना भी कठिन है, जिसका फ़र्मेट की समस्या के समाधान में योगदान बहुत महत्वपूर्ण है। मैं अराकील के बारे में बात कर रहा हूंसुरेन यूरीविच अराकेलोव, अर्मेनियाई मूल के यूक्रेनी गणितज्ञ), जिन्होंने 80 के दशक की शुरुआत में, जब वह अपने चौथे वर्ष में थे, तथाकथित बनाया। अंकगणितीय किस्मों पर प्रतिच्छेदन सिद्धांत. ऐसी सतहें छिद्रों और खामियों से भरी होती हैं, और उन पर वक्र अचानक गायब हो सकते हैं, जैसे थे, और फिर फिर से प्रकट हो सकते हैं। प्रतिच्छेदन सिद्धांत बताता है कि ऐसे वक्रों के प्रतिच्छेदन की डिग्री की गणना कैसे करें। यह फ़र्मेट की समस्या पर अपने काम में फाल्टिंग्स और मियाओका द्वारा उपयोग किया जाने वाला मुख्य उपकरण था।

एक बार अराकेलोव को एक बड़े गणितीय सम्मेलन में अपने परिणाम प्रस्तुत करने के लिए आमंत्रित किया गया था। हालाँकि, क्योंकि वह सोवियत प्रणाली के आलोचक थे, उन्हें जाने की अनुमति नहीं दी गई। जल्द ही उन्हें सेना में भर्ती कर लिया गया। उन्होंने स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया कि वह शांतिवादी कारणों से सामान्य तौर पर सैन्य सेवा के खिलाफ थे। जैसा कि मुझे संदिग्ध स्रोतों से पता चला, उसे कथित तौर पर एक बंद मनोरोग अस्पताल में भेजा गया था, जहाँ उसने लगभग एक वर्ष बिताया। जैसा कि आप जानते हैं, जाहिरा तौर पर राजनीतिक उद्देश्यों के लिए, सोवियत मनोचिकित्सकों ने एक विशेष प्रकार के सिज़ोफ्रेनिया (अंग्रेजी में, जिसका अर्थ रूसी में "सुस्त" है) की पहचान की सुस्त सिज़ोफ्रेनिया).

यह शत-प्रतिशत कहना कठिन है कि यह वास्तव में कैसा था, क्योंकि मेरी जानकारी के स्रोत बहुत विश्वसनीय नहीं हैं। जाहिर तौर पर, अस्पताल छोड़ने के बाद, अराकेलोव ने ज़ागोर्स्क के एक मठ में कई महीने बिताए। वह वर्तमान में अपनी पत्नी और तीन बच्चों के साथ मास्को में रहते हैं। वह गणित नहीं करता. एंड्रयू विल्स सम्मान और धन से भरपूर हैं।

एक सुपोषित यूरोपीय समाज की दृष्टि से भी यह कदम समझ से परे है ग्रिगोरी पेरेलमैन, जिन्होंने 2002 में XNUMXवीं शताब्दी की सबसे प्रसिद्ध टोपोलॉजिकल समस्या को हल किया था,"पोइनारी अनुमानऔर फिर उन्होंने सभी संभावित पुरस्कारों को अस्वीकार कर दिया। सबसे पहले फील्ड्स मेडल, जिसका शुरुआत में उल्लेख किया गया है, जिसे गणितज्ञ नोबेल पुरस्कार के बराबर मानते हैं, और फिर बीसवीं शताब्दी से बची हुई सात सबसे महत्वपूर्ण गणितीय समस्याओं में से एक को हल करने के लिए एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार। "अन्य बेहतर थे, मुझे सम्मान की परवाह नहीं है, क्योंकि गणित मेरा शौक है, मेरे पास भोजन और सिगरेट है," उसने कमोबेश चकित दुनिया को बताया।

300 से अधिक वर्षों के बाद सफलता

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय निश्चित रूप से गणित में सबसे प्रसिद्ध और शानदार समस्या थी। यह तीन सौ से अधिक वर्षों से खुला था, बहुत स्पष्ट और सुपाठ्य तरीके से तैयार किया गया था और सैद्धांतिक रूप से किसी के द्वारा भी हमला करना संभव था, और कंप्यूटर के लोकप्रिय होने के युग में, संभावित समाधानों का अनुमान लगाने के एक और रिकॉर्ड को तोड़ने की कोशिश करना अपेक्षाकृत आसान था। गणित के इतिहास में, इस मुद्दे ने, अपनी प्रेरक भूमिका के माध्यम से, एक बहुत ही महत्वपूर्ण "संस्कृति-निर्माण" भूमिका निभाई, जिसने संपूर्ण गणितीय विषयों के उद्भव में योगदान दिया। यह अजीब है क्योंकि समस्या स्वयं अपेक्षाकृत तुच्छ है और फ़र्मेट के समीकरण की जड़ों की कमी के बारे में मात्र जानकारी ने गणितीय ज्ञान के सामान्य खजाने में बहुत योगदान नहीं दिया।

1847 में, गेब्रियल लैमेट (1795-1870) ने फ़्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज में फ़र्मेट की समस्या के समाधान की घोषणा करते हुए एक व्याख्यान दिया। हालाँकि, तर्क में एक सूक्ष्म त्रुटि तुरंत देखी गई। यह अद्वितीय अपघटन प्रमेय के अनधिकृत उपयोग पर आधारित था। हमें स्कूल से याद है कि प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में एक अद्वितीय विभाजन होता है, उदाहरण के लिए, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503। संख्या 503 में कोई विभाजक नहीं है (1 और 503 को छोड़कर), इसलिए इसे आगे नहीं बढ़ाया जा सकता है।

वितरण की विशिष्टता का गुण धनात्मक पूर्णांकों में होता है, लेकिन अन्य संख्यात्मक समुच्चयों के बीच उनका होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, वर्ण संख्याओं के लिए

हमारे पास 36 = 2 है²2³ ,लेकिन

लेम के सबूत का विश्लेषण करके, कुमेर पी के कुछ प्रतिपादकों के लिए फर्मेट के अनुमान की वैधता साबित करने में सक्षम था। उसने उन्हें नियमित अभाज्य कहा। पूर्ण प्रमाण की दिशा में यह पहला महत्वपूर्ण कदम था। फर्मेट के प्रमेय के आसपास एक मिथक विकसित हुआ है। "या शायद यह और भी बुरा है - शायद आप यह भी साबित नहीं कर सकते कि इसे हल करना संभव या असंभव है?"

लेकिन 80 के दशक से सभी को लगा कि लक्ष्य करीब है। मुझे याद है कि बर्लिन की दीवार अभी भी खड़ी थी, और मैं पहले से ही "जल्द ही, एक पल में" के बारे में व्याख्यान सुन रहा था। ठीक है, किसी को पहले होना था। एंड्रयू विल्स ने अपने व्याख्यान को एक अंग्रेजी कफ के साथ समाप्त किया: "मुझे लगता है कि फ़र्मेट इसे साबित करता है," और भीड़ वाले दर्शकों को यह महसूस करने में कुछ समय लगा कि क्या हुआ था: 330 साल पुरानी गणितीय समस्या पर सैकड़ों गणितज्ञों द्वारा गहनता से काम किया गया था। रेजिमेंट खुद और अनगिनत शौकीनों, जैसे कि मकुशिंस्की के उपन्यासों से इवो गोंसोव्स्की। और एंड्रयू विल्स को नॉर्वे के राजा हेराल्ड वी के साथ हाथ मिलाने का सम्मान मिला। शायद उसने एबेल पुरस्कार के मामूली भत्ते पर ध्यान नहीं दिया, लगभग कई सौ यूरो - उसे इतने पैसे की आवश्यकता क्यों है?