समीकरण, कोड, सिफर, गणित और कविता

मीकल शुरेक अपने बारे में कहता है: “मेरा जन्म 1946 में हुआ था। मैंने 1968 में वारसॉ विश्वविद्यालय से स्नातक किया और तब से मैं गणित, सूचना विज्ञान और यांत्रिकी संकाय में काम कर रहा हूं। वैज्ञानिक विशेषज्ञता: बीजगणितीय ज्यामिति। मैंने हाल ही में वेक्टर बंडलों से निपटा है। वेक्टर बीम क्या है? तो, वैक्टर को धागे से कसकर बंधे होने की जरूरत है, और हमारे पास पहले से ही एक गुच्छा है। मेरे भौतिक विज्ञानी मित्र एंथनी सिम ने मुझे युवा तकनीशियन में शामिल किया (वह मानते हैं कि उन्हें मेरी फीस से रॉयल्टी मिलनी चाहिए)। मैंने कुछ लेख लिखे और फिर मैं रुक गया, और 1978 से आप हर महीने पढ़ सकते हैं कि मैं गणित के बारे में क्या सोचता हूँ। मुझे पहाड़ पसंद हैं और अधिक वजन होने के बावजूद मैं चलने की कोशिश करता हूं। मुझे लगता है कि शिक्षक सबसे महत्वपूर्ण हैं। मैं राजनेताओं को, चाहे उनके पास जो भी विकल्प हों, कड़ी सुरक्षा वाले इलाके में रखूंगा ताकि वे बच न सकें। दिन में एक बार खिलाएं। तुलक का एक बीगल मुझे पसंद करता है।

एक गणितज्ञ के लिए एक समीकरण एक सिफर की तरह होता है। समीकरणों को हल करना, गणित की सर्वोत्कृष्टता, सिफरटेक्स्ट का पठन है। यह XNUMXवीं शताब्दी के बाद से धर्मशास्त्रियों द्वारा देखा गया है। जॉन पॉल द्वितीय, जो गणित जानते थे, ने अपने प्रवचनों में कई बार लिखा और इसका उल्लेख किया - दुर्भाग्य से, तथ्यों को मेरी स्मृति से मिटा दिया गया है।

स्कूल विज्ञान में, इसका प्रतिनिधित्व किया जाता है पाइथागोरस एक समकोण त्रिभुज में कुछ निर्भरता पर प्रमेय के लेखक के रूप में। तो यह हमारे यूरोकेन्द्रित दर्शन का हिस्सा बन गया। और फिर भी पाइथागोरस में बहुत अधिक गुण हैं। यह वह था जिसने अपने छात्रों पर "इस पहाड़ी के पीछे क्या है" से "दुनिया को जानने" का कर्तव्य लगाया था? सितारों का अध्ययन करने से पहले। यही कारण है कि यूरोपीय लोगों ने प्राचीन सभ्यताओं की "खोज" की, न कि इसके विपरीत।

कुछ पाठकों को याद हैवियत पैटर्नऔर"; कई पुराने पाठकों को यह शब्द स्कूल से ही याद है और इस तथ्य के बारे में कि प्रश्न द्विघात समीकरणों में प्रकट होता है। ये नियमितताएं "वैचारिक रूप से" हैं एन्क्रिप्शन जानकारी।

कोई आश्चर्य नहीं एक फ्रेंकोइस वियत (1540-1603) हेनरी चतुर्थ (बोर्बोन राजवंश के पहले फ्रांसीसी राजा, 1553-1610) के दरबार में क्रिप्टोग्राफी में लगे हुए थे और फ्रांस के साथ युद्ध में अंग्रेजों द्वारा इस्तेमाल किए गए सिफर को तोड़ने में कामयाब रहे। इसलिए उन्होंने पोलिश गणितज्ञों (मैरियन रेजेवस्की के नेतृत्व में) के समान भूमिका निभाई, जिन्होंने द्वितीय विश्व युद्ध से पहले जर्मन एनिग्मा सिफर मशीन के रहस्यों की खोज की थी।

फैशन विषय

बिल्कुल। "कोड और सिफर" विषय लंबे समय से शिक्षण में फैशनेबल हो गया है। मैं इस बारे में पहले ही कई बार लिख चुका हूं, और दो महीने में एक और श्रृंखला होगी। इस बार मैं 1920 के युद्ध के बारे में एक फिल्म की छाप के तहत लिख रहा हूं, जहां जीत काफी हद तक तत्कालीन युवा के नेतृत्व वाली टीम द्वारा बोल्शेविक सैनिकों के कोड को तोड़ने के कारण हुई थी। वैक्लेव सीरपिंस्की (1882-1969)। नहीं, यह अभी तक पहेली नहीं है, यह सिर्फ एक परिचय है। मुझे फिल्म का एक दृश्य याद है जहां जोसेफ पिल्सुडस्की (डेनियल ओल्ब्रीस्की द्वारा अभिनीत) सिफर विभाग के प्रमुख से कहता है:

डिकोड किए गए संदेशों ने एक महत्वपूर्ण संदेश दिया: तुखचेवस्की के सैनिकों को समर्थन नहीं मिलेगा। आप हमला कर सकते हैं!

मैं वाक्लाव सीरपिंस्की को जानता था (यदि मैं ऐसा कह सकता हूं: मैं एक युवा छात्र था, वह एक प्रसिद्ध प्रोफेसर थे), उनके व्याख्यान और सेमिनार में भाग लिया। उन्होंने एक मुरझाए हुए विद्वान, विचलित, अपने अनुशासन में व्यस्त और दूसरी दुनिया को न देखने का आभास दिया। उन्होंने दर्शकों की ओर न देखते हुए, ब्लैकबोर्ड का सामना करते हुए विशेष रूप से व्याख्यान दिया ... लेकिन वे एक उत्कृष्ट विशेषज्ञ की तरह महसूस करते थे। एक तरह से या किसी अन्य, उसके पास कुछ गणितीय क्षमताएं थीं - उदाहरण के लिए, समस्याओं को हल करने के लिए। ऐसे अन्य वैज्ञानिक भी हैं जो पहेलियों को हल करने में अपेक्षाकृत खराब हैं, लेकिन जिन्हें पूरे सिद्धांत की गहरी समझ है और वे रचनात्मकता के पूरे क्षेत्रों को शुरू करने में सक्षम हैं। हमें दोनों की जरूरत है - हालांकि पहला तेजी से आगे बढ़ेगा।

वेक्लाव सीरपिंस्की ने 1920 में अपनी उपलब्धियों के बारे में कभी बात नहीं की। 1939 तक, इसे निश्चित रूप से गुप्त रखा जाना था, और 1945 के बाद, सोवियत रूस के साथ लड़ने वालों को तत्कालीन अधिकारियों की सहानुभूति का आनंद नहीं मिला। मेरा विश्वास है कि वैज्ञानिकों की जरूरत है, एक सेना की तरह, सिद्ध है: "बस के मामले में।" यहाँ राष्ट्रपति रूजवेल्ट आइंस्टीन को बुला रहे हैं:

उत्कृष्ट रूसी गणितज्ञ इगोर अर्नोल्ड ने खुले तौर पर और दुख के साथ कहा कि गणित और भौतिकी के विकास पर युद्ध का बहुत प्रभाव था (रडार और जीपीएस का भी सैन्य मूल था)। मैं परमाणु बम के उपयोग के नैतिक पहलू में नहीं जाता: यहाँ एक वर्ष के लिए युद्ध का विस्तार है और अपने स्वयं के लाखों सैनिकों की मृत्यु है - निर्दोष नागरिकों की पीड़ा है।

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मैं परिचित क्षेत्रों में भाग गया - k. हम में से कई कोड के साथ खेले, शायद स्काउटिंग, शायद ऐसे ही। अक्षरों को अन्य अक्षरों या अन्य संख्याओं के साथ बदलने के सिद्धांत के आधार पर सरल सिफर नियमित रूप से टूट जाते हैं यदि हम केवल कुछ सुराग पकड़ते हैं (उदाहरण के लिए, हम राजा के नाम का अनुमान लगाते हैं)। सांख्यिकीय विश्लेषण भी आज मदद करता है। इससे भी बदतर, जब सब कुछ परिवर्तनशील है। लेकिन सबसे बुरी बात तब होती है जब नियमितता नहीं होती। द एडवेंचर्स ऑफ द गुड सोल्जर श्विक में वर्णित कोड पर विचार करें। एक किताब लें, उदाहरण के लिए, द फ्लड। यहां पहले और दूसरे पेज पर सुझाव दिए गए हैं।

हम "CAT" शब्द को एनकोड करना चाहते हैं। हम पेज 1 और अगले सेकंड पर खोलते हैं। हम पाते हैं कि पृष्ठ 1 पर K अक्षर सबसे पहले 59वें स्थान पर आता है। हम इसके विपरीत, दूसरी तरफ उनतालीसवाँ शब्द पाते हैं। यह एक "ए" शब्द है। अब अक्षर O. बाईं ओर 16वाँ शब्द है, और दाईं ओर सोलहवाँ शब्द "Mr" है। यदि मैं सही ढंग से गिनूं तो अक्षर T 95वें स्थान पर है, और दाईं ओर से निन्यानवे शब्द "o" है। तो, सीएटी = 1 यहोवा ओ।

एक "अनुमानित" सिफर, हालांकि एन्क्रिप्शन के लिए और ... अनुमान लगाने के लिए दर्दनाक रूप से धीमा है। मान लीजिए कि हम M अक्षर को पास करना चाहते हैं। हम जांच सकते हैं कि क्या हम इसे "Wołodyjowski" शब्द से एन्कोड करते हैं। और हमारे बाद वे पहले से ही जेल की कोठरी तैयार कर रहे हैं। हम केवल एक प्रतिस्थापन पर भरोसा कर सकते हैं! इसके अलावा, काउंटर-इंटेलिजेंस गुप्त कर्मचारियों की रिपोर्ट को नोट करता है कि कुछ समय से ग्राहक स्वेच्छा से द फ्लड का पहला खंड खरीद रहे हैं।

मेरा लेख इस थीसिस में एक योगदान है: गणितज्ञों के सबसे विचित्र विचारों को भी व्यापक रूप से समझ में आने वाले अभ्यास में लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, क्या 47 से विभाज्यता के परीक्षण की तुलना में कम उपयोगी गणितीय खोज की कल्पना करना संभव है?

हमें जीवन में इसकी आवश्यकता कब होती है? और अगर ऐसा है, तो इसे अलग करने की कोशिश करना आसान हो जाएगा। यदि यह विभाजित करता है, तो यह अच्छा है, यदि नहीं, तो ... दूसरा यह अच्छा है (हम जानते हैं कि यह विभाजित नहीं होता है)।

कैसे शेयर करें और क्यों

इस परिचय के बाद, चलिए आगे बढ़ते हैं। क्या आप पाठक विभाज्यता के किसी संकेत को जानते हैं? निश्चित रूप से। सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8, या शून्य में समाप्त होती हैं। एक संख्या तीन से विभाज्य है यदि उसके अंकों का योग तीन से विभाज्य है। इसी तरह, नौ से विभाज्यता के चिह्न के साथ - अंकों का योग नौ से विभाज्य होना चाहिए।

इसकी जरूरत किसे है? मैं झूठ बोलूंगा अगर मैंने पाठक को आश्वस्त किया कि वह स्कूल के असाइनमेंट के अलावा किसी और चीज के लिए अच्छा था। खैर, और 4 से विभाज्यता की एक और विशेषता (और यह क्या है, पाठक? हो सकता है कि आप इसका उपयोग तब करेंगे जब आप जानना चाहेंगे कि अगला ओलंपियाड किस वर्ष आता है ...)। लेकिन 47 से विभाज्यता की विशेषता? यह पहले से ही सिरदर्द है। क्या हम कभी जान पाएंगे कि क्या कोई चीज 47 से विभाज्य है? यदि हाँ, तो कैलकुलेटर लें और देखें।

यह। आप सही कह रहे हैं, पाठक। और फिर भी, पढ़ें। कृप्या।

47 से विभाज्यता: संख्या 100+ 47 से विभाज्य है यदि और केवल यदि 47, +8 से विभाज्य है।

गणितज्ञ संतुष्टि के साथ मुस्कुराएगा: "जी, सुंदर।" लेकिन गणित गणित है। साक्ष्य मायने रखता है, और हम इसकी सुंदरता पर ध्यान देते हैं। अपने गुण को कैसे सिद्ध करें? यह बहुत सरल है। 100 + संख्या 94 - 47 = 47 (2 -) से घटाएं। हमें 100+-94+47=6+48=6(+8) मिलता है।

हमने एक संख्या घटाई है जो 47 से विभाज्य है, इसलिए यदि 6 (+ 8) 47 से विभाज्य है, तो 100 + है। लेकिन संख्या 6, 47 के लिए अपेक्षाकृत अभाज्य है, जिसका अर्थ है कि 6 (+8) 47 से विभाज्य है यदि और केवल अगर यह + 8 है। प्रमाण का अंत।

आइए देखते हैं कुछ उदाहरण.

8805685 47 से विभाज्य है? यदि हम वास्तव में इसमें रुचि रखते हैं, तो हम जल्दी ही हमें विभाजित करके पता लगा लेंगे जैसे हमें प्राथमिक विद्यालय में पढ़ाया जाता था। किसी न किसी तरह, अब हर मोबाइल फोन में एक कैलकुलेटर है। अलग करना? हाँ, निजी 187355।

खैर, आइए देखें कि विभाज्यता का चिन्ह हमें क्या बताता है। हम अंतिम दो अंकों को डिस्कनेक्ट करते हैं, उन्हें 8 से गुणा करते हैं, परिणाम को "काटे गए नंबर" में जोड़ते हैं और परिणामी संख्या के साथ भी ऐसा ही करते हैं।

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94।

हम देखते हैं कि 94 47 से विभाज्य है (भागफल 2 है), जिसका अर्थ है कि मूल संख्या भी विभाज्य है। उत्कृष्ट। लेकिन क्या होगा अगर हम मस्ती करते रहें?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47।

अब हमें रुकना चाहिए। सैंतालीस, 47 से विभाज्य है, है ना?

क्या हमें वाकई रुकने की ज़रूरत है? क्या होगा अगर हम और आगे बढ़ें? हे भगवान, कुछ भी हो सकता है ... मैं विवरण छोड़ दूंगा। शायद सिर्फ शुरुआत:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752।

लेकिन, दुर्भाग्य से, यह चबाने वाले बीजों की तरह ही नशीला है ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47।

आह, सैंतालीस। यह पहले हुआ था। आगे क्या होगा? . वैसा ही। संख्याएँ इस तरह एक लूप में जाती हैं:

यह वाकई दिलचस्प है। इतने सारे लूप।

दो निम्नलिखित उदाहरण.

हम जानना चाहते हैं कि क्या 10017627 47 से विभाज्य है। हमें इस ज्ञान की आवश्यकता क्यों है? हम सिद्धांत को याद करते हैं: ज्ञान के लिए शोक जो जानने वाले की मदद नहीं करता है। ज्ञान हमेशा कुछ के लिए होता है। यह कुछ के लिए होगा, लेकिन अब मैं नहीं समझाऊंगा। कुछ और खाते:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392।

"उसने अपने चाचा को कुल्हाड़ी से लाठी में बदल दिया।" इन सब से हमें क्या मिलता है?

खैर, चलिए कार्यवाही के क्रम को दोहराते हैं। अर्थात्, हम ऐसा करना जारी रखेंगे (अर्थात, "पुनरावृत्ति" शब्द)।

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235।

चलो खेल को रोकें, स्कूल की तरह विभाजित करें (या कैलकुलेटर पर): 235 = 5 47. बिंगो। मूल संख्या 10017627 47 से विभाज्य है।

बहुत बढ़िया!

क्या होगा अगर हम और आगे बढ़ें? मेरा विश्वास करो, आप इसे देख सकते हैं।

और एक और दिलचस्प तथ्य। हम जांचना चाहते हैं कि क्या 799 47 से विभाज्य है। हम विभाज्यता फलन का उपयोग करते हैं। हम अंतिम दो अंकों को डिस्कनेक्ट करते हैं, परिणामी संख्या को 8 से गुणा करते हैं और जो बचा है उसे जोड़ते हैं:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799।

हमारे पास क्या है? क्या 799 47 से विभाज्य है और केवल अगर 799 47 से विभाज्य है? हाँ, यह सही है, लेकिन इसके लिए किसी गणित की आवश्यकता नहीं है !!! तेल तैलीय है (कम से कम यह तेल तैलीय है)।

पत्ती, समुद्री डाकू और चुटकुलों के अंत के बारे में!

दो और कहानियाँ। एक पत्ता छिपाने के लिए सबसे अच्छी जगह कहाँ है? उत्तर स्पष्ट है: जंगल में! लेकिन फिर आप इसे कैसे ढूंढ सकते हैं?

दूसरा हम समुद्री लुटेरों के बारे में किताबों से जानते हैं जो हमने बहुत पहले पढ़े थे। समुद्री लुटेरों ने उस जगह का नक्शा बनाया जहां उन्होंने खजाना दफन किया था। दूसरों ने या तो इसे चुरा लिया या लड़ाई जीत ली। लेकिन नक्शे में यह नहीं बताया गया था कि यह किस द्वीप के लिए बनाया गया था। और अपने लिए देखो! बेशक, समुद्री लुटेरों ने इस (यातना) का मुकाबला किया - मैं जिस सिफर की बात कर रहा हूं, उसे भी ऐसे तरीकों का इस्तेमाल करके निकाला जा सकता है।

चुटकुलों का अंत। पाठक! हम एक सिफर बनाते हैं। मैं एक अंडरकवर जासूस हूं और अपने संपर्क बॉक्स के रूप में "जूनियर तकनीशियन" का उपयोग करता हूं। मुझे एन्क्रिप्टेड संदेशों को निम्नानुसार अग्रेषित करें।

सबसे पहले, कोड का उपयोग करके टेक्स्ट को संख्याओं की एक स्ट्रिंग में बदलें: एबी सीडीईएफजीएच आईजे केएलएमएन ओपी आरएसटी यूडब्ल्यूएक्स वाई जेड1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम पोलिश विशेषक का उपयोग नहीं करते हैं (अर्थात , , ć, , ó, के बिना) और गैर-पोलिश q, v - लेकिन गैर-पोलिश x केवल मामले में है। आइए एक और 25 को एक स्थान (शब्दों के बीच का स्थान) के रूप में शामिल करें। ओह, सबसे महत्वपूर्ण बात। कृपया कोड संख्या 47 लागू करें।

आप जानते हैं उसका क्या अर्थ है। आप एक मित्र गणितज्ञ के पास जाते हैं।

मित्र की आँखें आश्चर्य से फैल गईं।

आप गर्व से उत्तर देते हैं:

एक गणितज्ञ आपको यह विशेषता प्रदान करता है... और आप पहले से ही जानते हैं कि एक अगोचर दिखने वाला फ़ंक्शन एन्क्रिप्शन के लिए उपयोग किया जाता है

क्योंकि ऐसा पैटर्न एक वर्णित क्रिया है

100+→+8.

इसलिए, जब आप जानना चाहते हैं कि किसी संख्या का क्या अर्थ है, जैसे 77777777 एन्क्रिप्टेड संदेश में, तो आप फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं

100+→+8

जब तक आपको 1 और 25 के बीच कोई संख्या न मिल जाए। अब स्पष्ट अल्फ़ान्यूमेरिक कोड देखें। आइए देखें: 77777777 →… मैं इसे आप पर एक कार्य के रूप में छोड़ता हूं। लेकिन देखते हैं कौन सा अक्षर 48 छुपाता है? के पढ़ने:

48 → 0 + 8 48 = 384।

फिर हम बदले में प्राप्त करते हैं:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432 ...

अंत नजर नहीं आता। साठवें (!) समय के बाद ही 25 से कम की संख्या दिखाई देगी। यह 3 है, जिसका अर्थ है कि 48 अक्षर C है।

और यह संदेश हमें क्या देता है? (मैं आपको याद दिलाना चाहता हूं कि हम कोड संख्या 47 का उपयोग करते हैं):

80 - 152 - 136 - 546 - 695719 - 100 - 224 - 555 - 412 - 111 - 640 - 102 - 152 - 12881 - 444 - 77777777 - 59 - 408 - 373 - 1234567 - 341।

खैर, इसके बारे में सोचें, क्या इतना जटिल है, कुछ खाते। हमने शुरू कर दिया है। प्रारंभिक 80. ज्ञात नियम:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326।

यह इस प्रकार जारी है:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

खाना! मैसेज का पहला अक्षर है के. ऊफ, आसान, लेकिन इसमें कितना समय लगेगा?

आइए यह भी देखें कि 1234567 नंबर से हमें कितनी परेशानी होती है। सोलहवीं बार ही हमें 25 से कम संख्या मिलेगी, अर्थात् 12। तो 1234567 एल है।

ठीक है, कोई कह सकता है, लेकिन यह अंकगणितीय ऑपरेशन इतना सरल है कि इसे कंप्यूटर पर प्रोग्रामिंग करने से कोड तुरंत टूट जाएगा। हाँ यह सच हे। ये साधारण कंप्यूटर गणनाएं हैं। के साथ विचार सार्वजनिक सिफर और यह कंप्यूटर के लिए गणना को कठिन बनाने के बारे में भी है। इसे कम से कम सौ साल तक काम करने दें। क्या वह संदेश को डिक्रिप्ट करेगा? कोई फर्क नहीं पड़ता। यह लंबे समय तक मायने नहीं रखेगा। यह (अधिक या कम) सार्वजनिक सिफर के बारे में है। यदि आप बहुत लंबे समय तक काम करते हैं तो उन्हें तोड़ा जा सकता है ... जब तक कि खबर प्रासंगिक न हो।

 इसने हमेशा "प्रतिहथियारों" को जन्म दिया है। यह सब तलवार और ढाल से शुरू हुआ। गुप्त सेवाएं प्रतिभाशाली गणितज्ञों को एन्क्रिप्शन विधियों का आविष्कार करने के लिए बड़ी रकम का भुगतान करती हैं, जिन्हें कंप्यूटर (हमारे द्वारा बनाए गए सहित) XNUMX वीं शताब्दी में क्रैक करने में सक्षम नहीं होंगे।

इक्कीसवीं सदी? यह जानना इतना मुश्किल नहीं है कि दुनिया में पहले से ही बहुत से लोग हैं जो इस खूबसूरत सदी में रहेंगे!

ओह हुह? क्या होगा अगर मैं (मुझसे, "युवा तकनीशियन" द्वारा संपर्क किए गए गुप्त अधिकारी से) कोड संख्या 23 के साथ एन्क्रिप्ट करने के लिए कहूं? या 17? सरल:

हमें इस तरह के उद्देश्यों के लिए गणित का उपयोग कभी नहीं करना पड़ेगा।

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लेख का शीर्षक कविता के बारे में है। उसका इससे क्या लेना-देना है?

जैसे क्या? कविता भी दुनिया को एन्क्रिप्ट करती है।

कैसे?

उनके तरीकों से - बीजगणितीय के समान।