उल्टा आकर्षण
न केवल गणित में, बल्कि "विरोधों के आकर्षण" के बारे में बहुत सारी बातें हैं। याद रखें कि विपरीत संख्याएँ वे होती हैं जो केवल साइन में भिन्न होती हैं: प्लस 7 और माइनस 7. विपरीत संख्याओं का योग शून्य होता है। लेकिन हमारे लिए (यानी गणितज्ञ) पारस्परिक अधिक दिलचस्प हैं। यदि संख्याओं का गुणनफल 1 के बराबर है, तो ये संख्याएँ एक दूसरे के प्रतिलोम हैं। प्रत्येक संख्या का अपना विपरीत होता है, प्रत्येक गैर-शून्य संख्या का प्रतिलोम होता है। पारस्परिक का पारस्परिक बीज है।
व्युत्क्रम तब होता है जब दो मात्राएँ एक-दूसरे से संबंधित होती हैं ताकि यदि एक में वृद्धि हो, तो दूसरी समान दर से घटती रहे। "प्रासंगिक" का अर्थ है कि इन मात्राओं का गुणनफल नहीं बदलता है। हम स्कूल से याद करते हैं: यह एक व्युत्क्रम अनुपात है। अगर मैं अपनी मंजिल पर दुगनी तेजी से पहुंचना चाहता हूं (अर्थात समय को आधा कर देना), तो मुझे अपनी गति दोगुनी करनी होगी। यदि गैस के साथ सीलबंद बर्तन का आयतन n गुना कम कर दिया जाए, तो इसका दबाव n गुना बढ़ जाएगा।
प्रारंभिक शिक्षा में, हम अंतर और सापेक्ष तुलनाओं के बीच सावधानी से अंतर करते हैं। "कितना अधिक"? - "कितनी बार अधिक?"
यहाँ कुछ स्कूल गतिविधियाँ हैं:
टास्क 1। दो सकारात्मक मूल्यों में से पहला दूसरे से 5 गुना बड़ा है और साथ ही पहले से 5 गुना बड़ा है। आयाम क्या हैं?
टास्क 2। यदि एक संख्या दूसरी से 3 बड़ी है, और दूसरी तीसरी से 2 बड़ी है, तो पहली संख्या तीसरी से कितनी बड़ी है? यदि पहली धनात्मक संख्या दूसरी की दुगुनी है, और पहली संख्या तीसरी से तीन गुनी है, तो पहली संख्या तीसरी से कितनी गुनी है?
टास्क 3। कार्य 2 में, केवल प्राकृतिक संख्याओं की अनुमति है। क्या वहां वर्णित ऐसी व्यवस्था संभव है?
टास्क 4। दो सकारात्मक मूल्यों में से, पहला दूसरे का 5 गुना है, और दूसरा पहले का 5 गुना है। क्या यह संभव है?
"औसत" या "औसत" की अवधारणा बहुत सरल लगती है। अगर मैं सोमवार को 55 किमी, मंगलवार को 45 किमी और बुधवार को 80 किमी साइकिल चलाता हूं, तो औसतन मैं प्रति दिन 60 किमी साइकिल चलाता हूं। हम इन गणनाओं से तहे दिल से सहमत हैं, हालांकि वे थोड़े अजीब हैं, क्योंकि मैंने एक दिन में 60 किमी ड्राइव नहीं किया था। हम एक व्यक्ति के शेयरों को उतनी ही आसानी से स्वीकार करते हैं: यदि छह दिनों के भीतर दो सौ लोग एक रेस्तरां में जाते हैं, तो औसत दैनिक दर 33 और एक तिहाई लोग हैं। हम्म!
केवल औसत आकार को लेकर समस्याएं हैं। मुझे स्यक्लिंग पसंद है। इसलिए मैंने ट्रैवल एजेंसी "चलो हमारे साथ चलते हैं" की पेशकश का लाभ उठाया - वे होटल में सामान पहुंचाते हैं, जहां ग्राहक मनोरंजन के उद्देश्य से साइकिल की सवारी करता है। शुक्रवार को मैंने चार घंटे चलाई: पहले दो 24 किमी प्रति घंटे की गति से। फिर मैं इतना थक गया कि अगले दो के लिए केवल 16 प्रति घंटे की दर से। मेरी औसत गति क्या थी? बेशक (24+16)/2=20 किमी = 20 किमी/घंटा।
शनिवार को, हालांकि, होटल में सामान छोड़ दिया गया था, और मैं महल के खंडहरों को देखने गया, जो 24 किमी दूर है, और उन्हें देखकर मैं लौट आया। मैंने एक घंटे में एक दिशा में गाड़ी चलाई, 16 किमी प्रति घंटे की गति से धीरे-धीरे वापस लौटा। होटल-महल-होटल मार्ग पर मेरी औसत गति क्या थी? 20 किमी प्रति घंटा? बिलकूल नही। आखिरकार, मैंने कुल 48 किमी की दूरी तय की और मुझे एक घंटा ("वहां") और डेढ़ घंटा पहले लगा। ढाई घंटे में 48 किमी, यानी। घंटा 48/2,5=192/10=19,2 किमी! इस स्थिति में, औसत गति अंकगणितीय माध्य नहीं है, बल्कि दिए गए मानों का हार्मोनिक है:
और इस दो मंजिला सूत्र को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है: सकारात्मक संख्याओं का हार्मोनिक माध्य उनके पारस्परिक के अंकगणितीय माध्य का व्युत्क्रम होता है। व्युत्क्रमों के योग का व्युत्क्रम स्कूल असाइनमेंट के कई कोरस में दिखाई देता है: यदि एक कार्यकर्ता घंटे खोदता है, तो दूसरा - बी घंटे, फिर, एक साथ काम करते हुए, वे समय पर खुदाई करते हैं। पानी का पूल (एक प्रति घंटा, दूसरा बी घंटे पर)। यदि एक प्रतिरोधक में R1 और दूसरे के पास R2 है, तो उनका समानांतर प्रतिरोध होता है।
यदि एक कंप्यूटर किसी समस्या को सेकंड में हल कर सकता है, दूसरा कंप्यूटर b सेकंड में, तो जब वे एक साथ काम करते हैं ...
विराम! यह वह जगह है जहां सादृश्य समाप्त होता है, क्योंकि सब कुछ नेटवर्क की गति पर निर्भर करता है: कनेक्शन की दक्षता। कार्यकर्ता एक दूसरे में बाधा या मदद भी कर सकते हैं। अगर एक आदमी आठ घंटे में एक कुआं खोद सकता है, तो क्या अस्सी मजदूर इसे एक घंटे के 1/10 (या 6 मिनट) में कर सकते हैं? यदि छह कुली 6 मिनट में पियानो को पहली मंजिल तक ले जाते हैं, तो उनमें से एक को पियानो को साठवीं मंजिल तक पहुंचाने में कितना समय लगेगा? इस तरह की समस्याओं की बेतुकापन सभी गणित की "जीवन से" समस्याओं के लिए सीमित प्रयोज्यता को ध्यान में रखती है।
प्रिय विक्रेता
तराजू का अब उपयोग नहीं किया जाता है। याद कीजिए कि इस तरह के तराजू के एक कटोरे पर एक वजन रखा जाता था, और तौला जाने वाला सामान दूसरे पर रखा जाता था, और जब वजन संतुलन में होता था, तब वजन जितना वजन होता था। बेशक, भार भार के दोनों हाथ समान लंबाई के होने चाहिए, अन्यथा वजन गलत होगा।
अरे हाँ। एक ऐसे विक्रेता की कल्पना करें जिसके पास असमान उत्तोलन के साथ भार हो। हालांकि, वह ग्राहकों के साथ ईमानदार रहना चाहता है और सामान को दो बैचों में तौलता है। सबसे पहले, वह एक पैन पर वजन डालता है, और दूसरे पर समान मात्रा में सामान - ताकि तराजू संतुलन में रहे। फिर वह माल के दूसरे "आधे" को उल्टे क्रम में तौलता है, यानी वह दूसरे कटोरे पर वजन डालता है, और माल पहले पर रखता है। चूंकि हाथ असमान होते हैं, इसलिए "हिस्सों" कभी भी समान नहीं होते हैं। और विक्रेता का विवेक स्पष्ट है, और खरीदार उसकी ईमानदारी की प्रशंसा करते हैं: "मैंने यहां जो हटाया, मैंने फिर जोड़ा।"
हालांकि, आइए उस विक्रेता के व्यवहार पर करीब से नज़र डालें जो अनिश्चित वजन के बावजूद ईमानदार रहना चाहता है। माना तुला की भुजाओं की लंबाई a और b है। यदि एक कटोरे में एक किलोग्राम वजन और दूसरे में x सामान भरा हुआ है, तो स्केल संतुलन में हैं यदि ax = b पहली बार और bx = a दूसरी बार। तो, माल का पहला भाग b / a किलोग्राम के बराबर है, दूसरा भाग a / b है। अच्छे वजन में a = b होता है, इसलिए खरीदार को 2 किलो माल प्राप्त होगा। आइए देखें कि क्या होता है जब a ≠ b। तब a - b ≠ 0 और घटे हुए गुणन सूत्र से हमें प्राप्त होता है
हम एक अप्रत्याशित परिणाम पर आए: इस मामले में "औसत" माप की उचित उचित विधि खरीदार के लाभ के लिए काम करती है, जो अधिक सामान प्राप्त करता है।
5 असाइनमेंट. (महत्वपूर्ण, गणित में किसी भी तरह से नहीं!) एक मच्छर का वजन 2,5 मिलीग्राम और एक हाथी का वजन पांच टन होता है (यह बिल्कुल सही डेटा है)। मच्छर और हाथी द्रव्यमान (वजन) के अंकगणितीय माध्य, ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य की गणना करें। गणनाओं की जाँच करें और देखें कि क्या वे अंकगणितीय अभ्यासों के अलावा कोई अर्थ रखते हैं। आइए गणितीय गणनाओं के अन्य उदाहरण देखें जिनका "वास्तविक जीवन" में कोई मतलब नहीं है। युक्ति: हम इस लेख में पहले ही एक उदाहरण देख चुके हैं। क्या इसका मतलब यह है कि एक गुमनाम छात्र जिसकी राय मुझे इंटरनेट पर मिली, वह सही था: "गणित लोगों को संख्याओं से मूर्ख बनाता है"?
हां, मैं मानता हूं कि गणित की भव्यता में आप लोगों को "मूर्ख" बना सकते हैं - हर दूसरे शैम्पू के विज्ञापन में कहा जाता है कि यह कुछ प्रतिशत तक फुर्ती बढ़ाता है। क्या हम रोज़मर्रा के उपयोगी औजारों के अन्य उदाहरणों की तलाश करें जिनका उपयोग आपराधिक गतिविधियों के लिए किया जा सकता है?
ग्राम!
इस मार्ग का शीर्षक एक क्रिया (प्रथम व्यक्ति बहुवचन) है न कि संज्ञा (एक किलोग्राम के एक हजारवें हिस्से का नाममात्र का बहुवचन)। सद्भाव का अर्थ है आदेश और संगीत। प्राचीन यूनानियों के लिए, संगीत विज्ञान की एक शाखा थी - यह स्वीकार किया जाना चाहिए कि यदि हम ऐसा कहते हैं, तो हम "विज्ञान" शब्द के वर्तमान अर्थ को अपने युग से पहले के समय में स्थानांतरित कर देते हैं। पाइथागोरस XNUMX वीं शताब्दी ईसा पूर्व में रहता था। न केवल वह एक कंप्यूटर, मोबाइल फोन और ईमेल नहीं जानता था, बल्कि वह यह भी नहीं जानता था कि रॉबर्ट लेवांडोव्स्की, मिस्ज़को I, शारलेमेन और सिसरो कौन थे। वह या तो अरबी या रोमन अंक नहीं जानता था (वे XNUMX वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास उपयोग में आए थे), वह नहीं जानता था कि पुनिक युद्ध क्या थे ... लेकिन वह संगीत जानता था ...
वह जानता था कि तार वाले उपकरणों पर कंपन के गुणांक तार के कंपन भागों की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। वह जानता था, वह जानता था, वह इसे उस तरह से व्यक्त नहीं कर सकता जैसा हम आज करते हैं।
एक ऑक्टेट बनाने वाले दो स्ट्रिंग कंपन की आवृत्ति 1: 2 अनुपात में होती है, यानी उच्च नोट की आवृत्ति निचले वाले की आवृत्ति से दोगुनी होती है। पांचवें के लिए सही कंपन अनुपात 2:3 है, चौथा 3:4 है, शुद्ध प्रमुख तीसरा 4:5 है, मामूली तीसरा 5:6 है। ये सुखद व्यंजन अंतराल हैं। फिर दो तटस्थ हैं, 6:7 और 7:8 के कंपन अनुपात के साथ, फिर असंगत - एक बड़ा स्वर (8:9), एक छोटा स्वर (9:10)। ये अंश (अनुपात) एक अनुक्रम के क्रमिक सदस्यों के अनुपात की तरह हैं जो गणितज्ञ (इसी कारण से) हार्मोनिक श्रृंखला कहते हैं:
सैद्धांतिक रूप से अनंत राशि है। सप्तक के दोलनों के अनुपात को 2:4 के रूप में लिखा जा सकता है और उनके बीच पांचवां स्थान रखा जा सकता है: 2:3:4, अर्थात हम सप्तक को पांचवें और चौथे में विभाजित करेंगे। इसे गणित में हार्मोनिक सेगमेंट डिवीजन कहा जाता है:
चावल। 1. संगीतकार के लिए: सप्तक AB को पांचवें AC में विभाजित करना।गणितज्ञ के लिए: हार्मोनिक सेगमेंटेशन
जब मैं सैद्धांतिक रूप से अनंत योग, जैसे हार्मोनिक श्रृंखला के बारे में (ऊपर) बोलता हूं, तो मेरा क्या मतलब है? यह पता चला है कि ऐसी राशि कोई भी बड़ी संख्या हो सकती है, मुख्य बात यह है कि हम लंबे समय तक जोड़ते हैं। कम और कम सामग्री हैं, लेकिन उनमें से अधिक से अधिक हैं। क्या प्रबल होता है? यहां हम गणितीय विश्लेषण के दायरे में प्रवेश करते हैं। यह पता चला है कि सामग्री समाप्त हो गई है, लेकिन बहुत जल्दी नहीं। मैं दिखाऊंगा कि पर्याप्त सामग्री लेकर, मैं योग कर सकता हूं:
मनमाने ढंग से बड़ा। आइए "उदाहरण के लिए" n = 1024 लें। आइए शब्दों को चित्र में दिखाए अनुसार समूहित करें:
प्रत्येक कोष्ठक में, प्रत्येक शब्द पिछले एक से बड़ा है, सिवाय, निश्चित रूप से, अंतिम एक, जो स्वयं के बराबर है। निम्नलिखित कोष्ठकों में, हमारे पास 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 और 512 घटक हैं; प्रत्येक कोष्ठक में योग का मान ½ से अधिक है। यह सब साढ़े पांच से अधिक है। अधिक सटीक गणना से पता चलता है कि यह राशि लगभग 5 है। ज्यादा नहीं, लेकिन हमेशा, और आप देख सकते हैं कि कोई भी बड़ा n लेकर, मैं किसी भी संख्या को मात दे सकता हूं। यह अविश्वसनीय रूप से धीमा है (उदाहरण के लिए, हम अकेले सामग्री के साथ शीर्ष दस में हैं), लेकिन अनंत विकास ने हमेशा गणितज्ञों को आकर्षित किया है।
हार्मोनिक श्रृंखला के साथ अनंत की यात्रा
यहाँ कुछ बहुत ही गंभीर गणित के लिए एक पहेली है। हमारे पास आयताकार ब्लॉकों की असीमित आपूर्ति है (मैं क्या कह सकता हूं, आयताकार!) आयामों के साथ, 4 × 2 × 1। एक प्रणाली पर विचार करें जिसमें कई (पर) शामिल हैं अंजीर। 2 - चार) ब्लॉक, व्यवस्थित किया गया है ताकि पहला अपनी लंबाई के ½ से झुका हुआ हो, दूसरा ऊपर से ¼ और इसी तरह, तीसरा एक छठा हो। ठीक है, शायद इसे वास्तव में स्थिर बनाने के लिए, आइए पहली ईंट को थोड़ा कम झुकाएँ। गणना के लिए यह कोई मायने नहीं रखता।
चावल। 2. गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण
यह समझना भी आसान है कि चूंकि पहले दो ब्लॉक (ऊपर से गिनती) से बनी आकृति में बिंदु B पर सममिति का केंद्र है, तो B गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है। आइए ज्यामितीय रूप से सिस्टम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को परिभाषित करें, जो तीन ऊपरी ब्लॉकों से बना है। यहाँ एक बहुत ही सरल तर्क पर्याप्त है। आइए मानसिक रूप से तीन-ब्लॉक संरचना को दो ऊपरी और तीसरे निचले हिस्से में विभाजित करें। यह केंद्र दो भागों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को जोड़ने वाले खंड पर स्थित होना चाहिए। इस कड़ी में किस बिंदु पर?
नामित करने के दो तरीके हैं। पहले में, हम इस अवलोकन का उपयोग करेंगे कि यह केंद्र तीन-ब्लॉक पिरामिड के मध्य में स्थित होना चाहिए, अर्थात, दूसरे, मध्य ब्लॉक को काटते हुए एक सीधी रेखा पर। दूसरे तरीके से, हम समझते हैं कि चूंकि दो शीर्ष ब्लॉकों का कुल द्रव्यमान एक ही ब्लॉक #3 (शीर्ष) से दोगुना है, इसलिए इस खंड पर गुरुत्वाकर्षण का केंद्र केंद्र के मुकाबले बी के करीब दोगुना होना चाहिए। तीसरे ब्लॉक के एस. इसी तरह, हम अगला बिंदु पाते हैं: हम तीन ब्लॉक के पाए गए केंद्र को चौथे ब्लॉक के केंद्र S से जोड़ते हैं। पूरे सिस्टम का केंद्र ऊंचाई 2 पर है और उस बिंदु पर है जो खंड को 1 से 3 तक विभाजित करता है (अर्थात इसकी लंबाई के से)।
गणना जो हम थोड़ा और आगे करेंगे, वह अंजीर में दिखाए गए परिणाम की ओर ले जाएगी। आरईएस। 3. गुरुत्वाकर्षण के लगातार केंद्रों को निचले ब्लॉक के दाहिने किनारे से हटा दिया जाता है:
इस प्रकार, पिरामिड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का प्रक्षेपण हमेशा आधार के भीतर होता है। टावर नहीं गिरेगा। अब देखते हैं अंजीर। 3 और एक पल के लिए, आइए ऊपर से पांचवें ब्लॉक को आधार (उज्ज्वल रंग से चिह्नित) के रूप में उपयोग करें। शीर्ष झुकाव:
इस प्रकार, इसका बायां किनारा आधार के दाएं किनारे से 1 आगे है। यहाँ अगला स्विंग है:
सबसे बड़ा झूला क्या है? हम पहले से जानते हैं! कोई महान नहीं है! यहां तक कि सबसे छोटे ब्लॉकों को लेते हुए, आप एक किलोमीटर का ओवरहैंग प्राप्त कर सकते हैं - दुर्भाग्य से, केवल गणितीय रूप से: पूरी पृथ्वी इतने सारे ब्लॉक बनाने के लिए पर्याप्त नहीं होगी!
चावल। 3. और ब्लॉक जोड़ें
अब जो गणना हमने ऊपर छोड़ी है। हम सभी दूरियों की गणना x-अक्ष पर "क्षैतिज रूप से" करेंगे, क्योंकि इसके लिए बस इतना ही है। बिंदु A (पहले ब्लॉक के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र) दाहिने किनारे से 1/2 है। बिंदु B (दो ब्लॉक प्रणाली का केंद्र) दूसरे ब्लॉक के दाहिने किनारे से 1/4 दूर है। मान लीजिए कि शुरुआती बिंदु दूसरे ब्लॉक का अंत है (अब हम तीसरे पर आगे बढ़ेंगे)। उदाहरण के लिए, सिंगल ब्लॉक #3 का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहाँ है? इस ब्लॉक की लंबाई आधी है, इसलिए यह हमारे संदर्भ बिंदु से 1/2 + 1/4 = 3/4 है। बिंदु C कहाँ है? 3/4 और 1/4 के बीच के खंड के दो तिहाई में, यानी पहले बिंदु पर, हम संदर्भ बिंदु को तीसरे ब्लॉक के दाहिने किनारे पर बदलते हैं। तीन-ब्लॉक प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को अब नए संदर्भ बिंदु से हटा दिया गया है, और इसी तरह। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र Cn n ब्लॉक से बना एक टावर तात्कालिक संदर्भ बिंदु से 1/2n दूर है, जो आधार ब्लॉक का दायां किनारा है, यानी ऊपर से nth ब्लॉक।
चूंकि व्युत्क्रमों की श्रृंखला अलग-अलग होती है, इसलिए हम कोई भी बड़ा बदलाव प्राप्त कर सकते हैं। क्या इसे वास्तव में लागू किया जा सकता है? यह एक अंतहीन ईंट टॉवर की तरह है - देर-सबेर यह अपने ही भार के नीचे ढह जाएगा। हमारी योजना में, ब्लॉक प्लेसमेंट में न्यूनतम अशुद्धि (और श्रृंखला के आंशिक योग में धीमी वृद्धि) का मतलब है कि हम बहुत दूर नहीं जाएंगे।
