लेम, टोकरज़ुक, क्राको, गणित
3-7 सितंबर, 2019 को क्राको में पोलिश मैथमेटिकल सोसाइटी की वर्षगांठ कांग्रेस हुई। वर्षगांठ, क्योंकि सोसायटी की स्थापना की शताब्दी। यह 1 साल से गैलिसिया में मौजूद था (विशेषण के बिना कि सम्राट FJ1919 के पोलिश-उदारवाद की अपनी सीमाएँ थीं), लेकिन एक राष्ट्रव्यापी संगठन के रूप में यह केवल 1919 से संचालित हुआ। पोलिश गणित में प्रमुख प्रगति 1939 XNUMX-XNUMX से पहले की है। XNUMX ल्वीव में जन कासिमिर विश्वविद्यालय में, लेकिन सम्मेलन वहां नहीं हो सका - और यह सबसे अच्छा विचार भी नहीं है।
बैठक बहुत ही उत्सवपूर्ण थी, साथ की घटनाओं से भरी हुई थी (निपोलोमिस में महल में जेसेक वोज्स्की द्वारा प्रदर्शन सहित)। मुख्य व्याख्यान 28 वक्ताओं द्वारा दिए गए। वे पोलिश में थे क्योंकि आमंत्रित अतिथि पोल थे - जरूरी नहीं कि नागरिकता के अर्थ में, लेकिन खुद को पोल के रूप में पहचानना। अरे हाँ, पोलिश वैज्ञानिक संस्थानों से केवल तेरह व्याख्याता आए, शेष पंद्रह संयुक्त राज्य अमेरिका (7), फ्रांस (4), इंग्लैंड (2), जर्मनी (1) और कनाडा (1) से आए। खैर, यह फुटबॉल लीगों में एक प्रसिद्ध घटना है।
विदेश में लगातार सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शन करते रहते हैं। यह थोड़ा दुखद है, लेकिन आज़ादी तो आज़ादी है। कई पोलिश गणितज्ञों ने विदेशी करियर बनाया है जो पोलैंड में अप्राप्य है। यहां पैसा गौण भूमिका निभाता है, लेकिन मैं ऐसे विषयों पर लिखना नहीं चाहता. शायद सिर्फ दो टिप्पणियाँ।
रूस में, और उससे पहले सोवियत संघ में, यह सबसे सचेत स्तर पर था और है... और किसी भी तरह कोई भी वहां प्रवास नहीं करना चाहता है। बदले में, जर्मनी में, लगभग एक दर्जन उम्मीदवार किसी भी विश्वविद्यालय में प्रोफेसर पद के लिए आवेदन करते हैं (कोन्स्टनज़ विश्वविद्यालय के सहकर्मियों ने कहा कि उनके पास एक वर्ष में 120 आवेदन थे, जिनमें से 50 बहुत अच्छे थे, और 20 उत्कृष्ट थे)।
जुबली कांग्रेस के कुछ व्याख्यानों का सारांश हमारी मासिक पत्रिका में दिया जा सकता है। "विरल ग्राफ़ की सीमाएँ और उनके अनुप्रयोग" या "उच्च-आयामी सामान्यीकृत स्थानों के लिए उप-स्थानों और कारक स्थानों की रैखिक संरचना और ज्यामिति" जैसे शीर्षक औसत पाठक को कुछ नहीं बताएंगे। दूसरा विषय मेरे पहले पाठ्यक्रम के मित्र द्वारा प्रस्तुत किया गया था, निकोल टॉमचैक.
कुछ साल पहले, उन्हें इस व्याख्यान में प्रस्तुत उपलब्धि के लिए नामांकित किया गया था। फील्ड्स मेडल गणितज्ञों के लिए समकक्ष है। अभी तक केवल एक महिला को ही यह पुरस्कार मिला है। व्याख्यान भी ध्यान देने योग्य है अन्ना मार्सिनियाक-चोहरा (हीडलबर्ग विश्वविद्यालय) "ल्यूकेमिया मॉडलिंग के उदाहरण पर चिकित्सा में यंत्रवत गणितीय मॉडल की भूमिका"।
चिकित्सा में प्रवेश किया। वारसॉ विश्वविद्यालय में, प्रोफेसर के नेतृत्व में एक समूह। जेरज़ी ट्यूरिन.
व्याख्यान का शीर्षक पाठकों के लिए समझ से परे होगा वेस्लावा निज़ियोल (z prestiżowej हायर पेडागोगिकल स्कूल) "-एडिक हॉज सिद्धांत". फिर भी, मैंने इसी व्याख्यान पर यहां चर्चा करने का निर्णय लिया है।
ज्यामिति-आदिक संसार
इसकी शुरुआत साधारण छोटी चीज़ों से होती है। क्या आपको याद है, पाठक, लिखित आदान-प्रदान की विधि? निश्चित रूप से। प्राथमिक विद्यालय के लापरवाह वर्षों के बारे में सोचें। 125051 को 23 से विभाजित करें (यह बाईं ओर की क्रिया है)। क्या आप जानते हैं कि यह अलग हो सकता है (दाईं ओर की कार्रवाई)?
यह नया तरीका दिलचस्प है। मैं अंत से जा रहा हूँ। हमें 125051 को 23 से विभाजित करने की आवश्यकता है। हमें 23 को किससे गुणा करने की आवश्यकता है ताकि अंतिम अंक 1 हो? स्मृति में खोज रहे हैं और हमारे पास :=7 है। परिणाम का अंतिम अंक 7 है। गुणा, घटाना, हमें 489 प्राप्त होता है। आप 23 को 9 के साथ समाप्त करने के लिए कैसे गुणा करेंगे? बेशक, 3 से। हम उस बिंदु पर पहुंच जाते हैं जहां हम परिणाम की सभी संख्याएं निर्धारित करते हैं। हमें यह अव्यावहारिक और हमारी सामान्य पद्धति से अधिक कठिन लगता है - लेकिन यह अभ्यास की बात है!
चीजें तब अलग मोड़ ले लेती हैं जब बहादुर आदमी विभाजक द्वारा पूरी तरह से विभाजित नहीं होता है। चलिए बंटवारा करते हैं और देखते हैं क्या होता है.
बाईं ओर एक सामान्य स्कूल ट्रैक है। दाईं ओर "हमारे अजीब लोग" हैं।
हम दोनों परिणामों को गुणा करके जांच सकते हैं। हम पहले को समझते हैं: संख्या 4675 का एक तिहाई एक हजार पांच सौ अट्ठाईस है, और अवधि में तीन है। दूसरे का कोई मतलब नहीं है: यह कौन सी संख्या है जिसके पहले अनंत छक्कों की संख्या है और फिर 8225?
आइए एक क्षण के लिए अर्थ के प्रश्न को छोड़ दें। आइए खेलते हैं। तो आइए 1 को 3 से विभाजित करें और फिर 1 को 7 से विभाजित करें जो कि एक तिहाई और एक सातवां भाग है। हम आसानी से प्राप्त कर सकते हैं:
1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.
इस अंतिम पंक्ति का अर्थ है: ब्लॉक 285714 शुरुआत में अनिश्चित काल तक दोहराता है, और अंत में उनमें से तीन हैं। जो लोग विश्वास नहीं करते, उनके लिए यहां एक परीक्षा है:
अब भिन्नों को जोड़ते हैं:
फिर हम प्राप्त अजीब संख्याओं को जोड़ते हैं, और हमें वही अजीब संख्या मिलती है (जाँचें)।
......95238095238095238095238010
हम जाँच सकते हैं कि यह बराबर है
सार अभी तक नहीं देखा गया है, लेकिन अंकगणित सही है।
एक और उदाहरण.
सामान्य, यद्यपि बड़ी, संख्या 40081787109376 में एक दिलचस्प गुण है: इसका वर्ग भी 40081787109376 में समाप्त होता है। संख्या x40081787109376, जो (x40081787109376) है2 x40081787109376 पर भी समाप्त होता है।
बख्शीश। हमारे पास 40081787109376 है2= 16065496 57881340081787109376, इसलिए अगला अंक तीन से दस का पूरक है, जो 7 है। आइए जाँच करें: 7400817871093762= 5477210516110077400817 87109376.
ऐसा क्यों है यह प्रश्न कठिन है। यह आसान है: 5 से समाप्त होने वाली संख्याओं के लिए समान अंत खोजें। अगले अंकों को अनिश्चित काल तक खोजने की प्रक्रिया जारी रखते हुए, हम ऐसी "संख्याओं" पर आएंगे 2=2= (और इनमें से कोई भी संख्या शून्य या एक के बराबर नहीं है)।
हम अच्छी तरह समझते हैं. दशमलव बिंदु के बाद जितनी दूर होगी, संख्या उतनी ही कम महत्वपूर्ण होगी। इंजीनियरिंग गणना में, दशमलव बिंदु के बाद का पहला अंक महत्वपूर्ण है, साथ ही दूसरा भी, लेकिन कई मामलों में यह माना जा सकता है कि किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात 3,14 है। निःसंदेह, विमानन उद्योग में और अधिक संख्याएँ शामिल करने की आवश्यकता है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि दस से अधिक संख्याएँ होंगी।
लेख के शीर्षक में नाम दिखाई दिया स्टानिस्लाव लेम (1921-2006), साथ ही हमारे नए नोबेल पुरस्कार विजेता। महिला ओल्गा टोकार्चुक इसका जिक्र मैंने सिर्फ इसलिए किया क्योंकि अन्याय चिल्ला रहा हैतथ्य यह है कि स्टैनिस्लाव लेम को साहित्य में नोबेल पुरस्कार नहीं मिला। लेकिन यह हमारे कोने में नहीं है.
लेम अक्सर भविष्य की भविष्यवाणी करता था। उसने सोचा कि जब वे मनुष्यों से स्वतंत्र हो जायेंगे तो क्या होगा। इस विषय पर हाल ही में कितनी फिल्में आई हैं! लेम ने भविष्य के ऑप्टिकल रीडर और फार्माकोलॉजी की काफी सटीक भविष्यवाणी की और उसका वर्णन किया।
वह गणित जानते थे, हालाँकि कभी-कभी वे इसे एक आभूषण के रूप में मानते थे, गणना की शुद्धता की परवाह नहीं करते थे। उदाहरण के लिए, कहानी "ट्रायल" में, पिर्क्स पायलट 68 घंटे 4 मिनट की घूर्णन अवधि के साथ कक्षा बी29 में जाता है, और निर्देश 4 घंटे 26 मिनट का है। उन्हें याद है कि उन्होंने 0,3 प्रतिशत की त्रुटि के साथ गणना की थी। वह कैलकुलेटर को डेटा देता है, और कैलकुलेटर उत्तर देता है कि सब कुछ ठीक है... ठीक है, नहीं। 266 मिनट के प्रतिशत का तीन दसवां हिस्सा एक मिनट से भी कम है। लेकिन क्या यह त्रुटि कुछ बदलती है? शायद यह जानबूझकर किया गया था?
मैं इस बारे में क्यों लिख रहा हूँ? कई गणितज्ञों ने भी यह प्रश्न उठाया है: एक समुदाय की कल्पना करें। उनके पास हमारा मानवीय दिमाग नहीं है. हमारे लिए, 1609,12134 और 1609,23245 बहुत करीबी संख्याएँ हैं - अंग्रेजी मील के लिए अच्छा अनुमान। हालाँकि, कंप्यूटर 468146123456123456 और 9999999123456123456 नंबरों को करीब मान सकते हैं। उनके पास समान बारह-अंकीय अंत हैं।
अंत में जितने अधिक सामान्य अंक होंगे, संख्याएँ उतनी ही निकट होंगी। और यह तथाकथित दूरी की ओर ले जाता है -आदिक. पी को एक पल के लिए 10 के बराबर होने दें; क्यों "थोड़ी देर के लिए", मैं समझाऊंगा ... अभी। ऊपर लिखी संख्याओं की 10 बिन्दु की दूरी है
या दस लाखवाँ - क्योंकि इन संख्याओं के अंत में छह सामान्य अंक होते हैं। सभी पूर्णांक शून्य से एक या उससे कम भिन्न होते हैं। मैं खाका भी नहीं लिखूंगा क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। अंत में जितनी अधिक समान संख्याएँ, उतनी ही निकट संख्याएँ (एक व्यक्ति के लिए, इसके विपरीत, प्रारंभिक संख्याएँ मानी जाती हैं)। यह महत्वपूर्ण है कि p एक अभाज्य संख्या हो।
फिर - वे शून्य और एक पसंद करते हैं, इसलिए वे इन पैटर्न में सब कुछ देखते हैं: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111।
ग्लोस पाना उपन्यास में, स्टैनिस्लाव लेम ने वैज्ञानिकों को परवर्ती जीवन से भेजे गए एक संदेश को पढ़ने की कोशिश करने के लिए काम पर रखा है, जिसे निश्चित रूप से शून्य-एक कोडित किया गया है। क्या कोई हमें लिखता है? लेम का तर्क है कि "किसी भी संदेश को पढ़ा जा सकता है यदि वह संदेश है कि कोई हमें कुछ बताना चाहता है।" लेकिन क्या ऐसा है? मैं पाठकों को इस दुविधा में छोड़ दूँगा।
हम XNUMXडी स्पेस में रहते हैं R3. पत्र R याद करते हैं कि अक्षों में वास्तविक संख्याएँ होती हैं, अर्थात् पूर्णांक, ऋणात्मक और धनात्मक, शून्य, परिमेय (अर्थात भिन्न) और अपरिमेय, जो पाठकों को स्कूल में मिले (), और संख्याएँ जिन्हें पारलौकिक संख्याएँ कहा जाता है, बीजगणित में अप्राप्य (यह संख्या π है) , जो दो हजार वर्षों से भी अधिक समय से एक वृत्त के व्यास को उसकी परिधि से जोड़ रहा है)।
क्या होगा यदि हमारे अंतरिक्ष के अक्ष -आदिक संख्याएँ हों?
जेरज़ी मियोडुस्ज़ोस्कीसिलेसिया विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ का तर्क है कि ऐसा हो सकता है, और यहां तक कि ऐसा भी हो सकता है। हम (जेरज़ी मियोडुस्ज़ेव्स्की कहते हैं) ऐसे प्राणियों के साथ अंतरिक्ष में एक ही स्थान पर रह सकते हैं, बिना हस्तक्षेप किए और एक-दूसरे को देखे बिना।
तो, हमारे पास तलाशने के लिए "उनकी" दुनिया की सभी ज्यामिति हैं। यह संभावना नहीं है कि "वे" हमारे बारे में उसी तरह सोचते हैं और हमारी ज्यामिति का भी अध्ययन करते हैं, क्योंकि हमारी दुनिया सभी "उनकी" दुनिया का एक सीमावर्ती मामला है। "उन्हें", अर्थात्, सभी नारकीय संसार, जहाँ वे अभाज्य संख्याएँ हैं। विशेष रूप से, = 2 और शून्य-एक की यह आकर्षक दुनिया...
यहां लेख का पाठक क्रोधित भी हो सकता है। "क्या गणितज्ञ इसी तरह की बकवास करते हैं?" वे मेरे (=करदाता के) पैसे से, रात के खाने के बाद वोदका पीने के बारे में कल्पना करते हैं। और उन्हें चार हवाओं में फैला दो, उन्हें राज्य के खेतों में जाने दो... ओह, अब कोई राज्य खेत नहीं हैं!
आराम करना। उन्हें हमेशा ऐसे चुटकुलों का शौक था। मुझे केवल सैंडविच प्रमेय का उल्लेख करने दें: यदि मेरे पास पनीर और हैम सैंडविच है, तो मैं इसे बन, हैम और पनीर को आधा करने के लिए एक कट में काट सकता हूं। व्यवहार में यह बेकार है. मुद्दा यह है कि यह कार्यात्मक विश्लेषण से एक दिलचस्प सामान्य प्रमेय का एक चंचल अनुप्रयोग है।
-एडिक संख्याओं और संबंधित ज्यामिति से निपटना कितना गंभीर है? मैं पाठक को याद दिला दूं कि परिमेय संख्याएँ (सरल रूप से: भिन्न) रेखा पर सघन रूप से स्थित होती हैं, लेकिन इसे बारीकी से नहीं भरती हैं।
अपरिमेय संख्याएँ "छिद्रों" में रहती हैं। उनमें से कई, अनंत रूप से कई हैं, लेकिन आप यह भी कह सकते हैं कि उनकी अनंतता सबसे सरल से अधिक है, जिसमें हम गिनते हैं: एक, दो, तीन, चार ... और इसी तरह ∞ तक। यह हमारे मानवीय "छिद्रों" को भरना है। यह मानसिक संरचना हमें विरासत में मिली है पाइथोगोरस.
लेकिन एक गणितज्ञ के लिए दिलचस्प और महत्वपूर्ण बात यह है कि कोई इन छिद्रों को अपरिमेय और पी-एडिक संख्याओं (सभी अभाज्य पी के लिए) से "भर" नहीं सकता है। उन पाठकों के लिए जो इसे समझते हैं (और यह तीस साल पहले हर हाई स्कूल में पढ़ाया जाता था), मुद्दा यह है कि प्रत्येक अनुक्रम जो संतुष्ट करता है कॉची की अवस्था, अभिसरण।
वह स्थान जिसमें यह सत्य है, पूर्ण कहलाता है ("कुछ भी गायब नहीं है")। मुझे 547721051611007740081787109376 नंबर याद रहेगा।
अनुक्रम 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 इत्यादि एक निश्चित सीमा तक परिवर्तित होते हैं, जो लगभग 0,5477210516110077400 81787109376 है।
हालाँकि, 10-एडिक दूरी के दृष्टिकोण से, संख्याओं 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 इत्यादि का क्रम भी "अजीब" संख्या में परिवर्तित होता है ... 547721051 611007740081787109376।
लेकिन यह भी वैज्ञानिकों को सार्वजनिक धन देने के लिए पर्याप्त कारण नहीं हो सकता है। सामान्य तौर पर, हम (गणितज्ञ) यह कहकर अपना बचाव करते हैं कि यह भविष्यवाणी करना असंभव है कि हमारा शोध किस लिए उपयोगी होगा। यह लगभग तय है कि हर कोई किसी न किसी काम का होगा और केवल व्यापक मोर्चे पर कार्रवाई से ही सफलता की संभावना है।
सबसे महान आविष्कारों में से एक, एक्स-रे मशीन, रेडियोधर्मिता की आकस्मिक खोज के बाद बनाई गई थी Becquerel. यदि यह मामला न होता तो कई वर्षों का शोध शायद बेकार होता। "हम मानव शरीर का एक्स-रे लेने का तरीका ढूंढ रहे हैं।"
अंत में, सबसे महत्वपूर्ण बात. हर कोई इस बात से सहमत है कि समीकरणों को हल करने की क्षमता एक भूमिका निभाती है। और यहां हमारी अजीब संख्याएं अच्छी तरह से संरक्षित हैं। संगत प्रमेय (मुझे मिन्कोवस्की से नफरत है) का कहना है कि कुछ समीकरणों को तर्कसंगत संख्याओं में हल किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब उनकी वास्तविक जड़ें हों और प्रत्येक -आदिक शरीर में जड़ें हों।
कमोबेश यही दृष्टिकोण प्रस्तुत किया गया है एंड्रयू विल्स, जिसने पिछले तीन सौ वर्षों के सबसे प्रसिद्ध गणितीय समीकरण को हल किया - मैं पाठकों को इसे एक खोज इंजन में दर्ज करने की सलाह देता हूं "फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय".
