ज्यामितीय पथ और मोटा

इस लेख को लिखते समय, मुझे जान पिएत्रज़क का एक बहुत पुराना गीत याद आया, जिसे उन्होंने कैबरे पॉड एगिडा में अपनी व्यंग्यात्मक गतिविधि से पहले गाया था, जिसे पोलिश पीपुल्स रिपब्लिक में एक सुरक्षा वाल्व के रूप में मान्यता दी गई थी; कोई ईमानदारी से सिस्टम के विरोधाभासों पर हंस सकता है। इस गीत में, लेखक ने समाजवादी राजनीतिक भागीदारी की सिफारिश की, उन लोगों का उपहास किया जो अराजनीतिक होना चाहते हैं और अखबार में रेडियो बंद कर देते हैं। "स्कूल पढ़ने के लिए वापस जाना बेहतर है," तत्कालीन XNUMX वर्षीय पेटशाक ने विडंबनापूर्ण रूप से गाया।

मैं स्कूल पढ़ने के लिए वापस जा रहा हूँ। मैं शचेपन येलेंस्की (1881-1949) की किताब "लायलवती" को फिर से पढ़ रहा हूं (पहली बार नहीं)। कुछ पाठकों के लिए यह शब्द ही कुछ कहता है। यह प्रसिद्ध हिंदू गणितज्ञ भास्कर (1114-1185) की बेटी का नाम है, जिसका नाम अकारिया है, या उस ऋषि का नाम है, जिन्होंने बीजगणित पर अपनी पुस्तक का नाम इसी नाम से रखा था। लीलावती बाद में स्वयं एक प्रसिद्ध गणितज्ञ और दार्शनिक बनीं। अन्य स्रोतों के अनुसार, यह वह थी जिसने स्वयं पुस्तक लिखी थी।

स्ज़ेपैन येलेंस्की ने गणित पर अपनी पुस्तक को यही शीर्षक दिया (पहला संस्करण, 1926)। इस पुस्तक को एक गणितीय कार्य कहना मुश्किल भी हो सकता है - यह पहेलियों का एक सेट अधिक था, और बड़े पैमाने पर फ्रांसीसी स्रोतों से फिर से लिखा गया था (आधुनिक अर्थों में कॉपीराइट मौजूद नहीं था)। किसी भी मामले में, कई वर्षों तक यह गणित पर एकमात्र लोकप्रिय पोलिश पुस्तक थी - बाद में जेलेंस्की की दूसरी पुस्तक, पाइथागोरस स्वीट्स को इसमें जोड़ा गया। इसलिए गणित में रुचि रखने वाले युवाओं के पास चुनने के लिए कुछ भी नहीं था (जो वास्तव में मैं एक बार था) ...

दूसरी ओर, "लीलावती" को लगभग दिल से जाना जाना था... आह, कई बार थे... उनका सबसे बड़ा फायदा यह था कि मैं तब... एक किशोरी थी। आज, एक सुशिक्षित गणितज्ञ के दृष्टिकोण से, मैं लीलावती को पूरी तरह से अलग तरीके से देखता हूं - शायद एक पर्वतारोही की तरह, जो शापिगलासोवा स्शेलेंच के रास्ते के मोड़ पर है। न तो कोई और न ही अपना आकर्षण खोता है ... अपनी विशिष्ट शैली में, शचेपन येलेंस्की, जो अपने निजी जीवन में तथाकथित राष्ट्रीय विचारों को स्वीकार करते हैं, वे प्रस्तावना में लिखते हैं:

राष्ट्रीय विशेषताओं के विवरण को छुए बिना, मैं कहूंगा कि नब्बे वर्षों के बाद भी, गणित के बारे में येलेंस्की के शब्दों ने अपनी प्रासंगिकता नहीं खोई है। गणित आपको सोचना सिखाता है। यह सच है। क्या हम आपको अलग ढंग से सोचना सिखा सकते हैं, अधिक सरलता से और अधिक सुन्दरता से? शायद। यह बस है... हम अभी भी नहीं कर सकते। मैं अपने छात्रों को समझाता हूं जो गणित नहीं करना चाहते हैं कि यह भी उनकी बुद्धि की परीक्षा है। यदि आप वास्तव में सरल गणित सिद्धांत नहीं सीख सकते हैं, तो... हो सकता है कि आपकी मानसिक क्षमताएं हम दोनों से भी बदतर हों...?

रेत में संकेत

और यहाँ "लिलावती" में पहली कहानी है - फ्रांसीसी दार्शनिक जोसेफ डी मैस्त्रे (1753-1821) द्वारा वर्णित एक कहानी।

एक बर्बाद जहाज से एक नाविक लहरों द्वारा एक खाली किनारे पर फेंका गया था, जिसे वह निर्जन मानता था। अचानक, तटीय रेत में, उसने किसी के सामने खींची गई एक ज्यामितीय आकृति का निशान देखा। तब उसे एहसास हुआ कि द्वीप वीरान नहीं है!

डी मेस्त्री का हवाला देते हुए, येलेंस्की लिखते हैं: ज्यामितीय आकृतियह दुर्भाग्यपूर्ण, जलपोत, संयोग के लिए एक मूक अभिव्यक्ति होगी, लेकिन उसने उसे एक नज़र अनुपात और संख्या में दिखाया, और इसने एक प्रबुद्ध व्यक्ति की शुरुआत की। इतिहास के लिए इतना।

ध्यान दें कि एक नाविक एक ही प्रतिक्रिया का कारण होगा, उदाहरण के लिए, अक्षर K, ... और किसी व्यक्ति की उपस्थिति के किसी भी अन्य निशान को खींचकर। यहां ज्यामिति को आदर्श बनाया गया है।

हालाँकि, खगोलशास्त्री केमिली फ्लेमरियन (1847-1925) ने प्रस्तावित किया कि सभ्यताएँ ज्यामिति का उपयोग करके दूर से एक-दूसरे का अभिवादन करती हैं। उन्होंने इसमें संचार का एकमात्र सही और संभव प्रयास देखा। आइए ऐसे मार्टियंस को पाइथागोरस त्रिकोण दिखाते हैं ... वे थेल्स के साथ हमें जवाब देंगे, हम उन्हें विएटा पैटर्न के साथ जवाब देंगे, उनका सर्कल एक त्रिकोण में फिट होगा, इसलिए दोस्ती शुरू हुई ...

जूल्स वर्ने और स्टानिस्लाव लेम जैसे लेखक इस विचार पर लौट आए। और 1972 में, पायनियर जांच पर ज्यामितीय (और न केवल) पैटर्न वाली टाइलें लगाई गईं, जो अभी भी अंतरिक्ष के विस्तार को पार करती है, अब हमसे लगभग 140 खगोलीय इकाइयाँ (1 I पृथ्वी से पृथ्वी की औसत दूरी है) . सूर्य, यानी लगभग 149 मिलियन किमी)। टाइल को आंशिक रूप से खगोलविद फ्रैंक ड्रेक द्वारा डिजाइन किया गया था, जो अलौकिक सभ्यताओं की संख्या पर विवादास्पद नियम के निर्माता थे।

ज्यामिति अद्भुत है। इस विज्ञान की उत्पत्ति के बारे में सामान्य दृष्टिकोण हम सभी जानते हैं। हम (हम इंसानों) ने सबसे उपयोगी उद्देश्यों के लिए भूमि (और बाद में भूमि) को मापना शुरू कर दिया है। दूरी तय करना, सीधी रेखाएँ खींचना, समकोणों को चिन्हित करना और आयतन की गणना करना धीरे-धीरे एक आवश्यकता बन गई। इसलिए पूरी बात ज्यामिति ("पृथ्वी का माप"), इसलिए सभी गणित ...

हालाँकि, कुछ समय के लिए विज्ञान के इतिहास की इस स्पष्ट तस्वीर ने हम पर छा गए। क्योंकि यदि गणित की आवश्यकता केवल क्रियात्मक उद्देश्यों के लिए होती, तो हम सरल प्रमेयों को सिद्ध करने में संलग्न नहीं होते। "आप देखते हैं कि यह बिल्कुल सच होना चाहिए," कोई यह जाँचने के बाद कहेगा कि कई समकोण त्रिभुजों में कर्ण के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। ऐसी औपचारिकता क्यों?

बेर पाई को स्वादिष्ट होना है, कंप्यूटर प्रोग्राम को काम करना है, मशीन को काम करना है। अगर मैंने बैरल की क्षमता को तीस गुना गिन लिया और सब कुछ क्रम में है, तो और क्यों?

इस बीच, प्राचीन यूनानियों को यह पता चला कि कुछ औपचारिक प्रमाण खोजने की आवश्यकता है।

तो, गणित की शुरुआत थेल्स (625-547 ईसा पूर्व) से होती है। यह माना जाता है कि यह मिलेटस था जिसने आश्चर्य करना शुरू किया कि क्यों। स्मार्ट लोगों के लिए यह काफी नहीं है कि उन्होंने कुछ देखा है, कि वे किसी चीज के प्रति आश्वस्त हैं। उन्होंने सबूत की आवश्यकता को देखा, धारणा से थीसिस तक तर्कों का एक तार्किक क्रम।

वे और भी चाहते थे। यह संभवतः थेल्स थे जिन्होंने पहली बार भौतिक घटनाओं को प्राकृतिक तरीके से समझाने की कोशिश की, बिना दैवीय हस्तक्षेप के। यूरोपीय दर्शन प्रकृति के दर्शन के साथ शुरू हुआ - जो पहले से ही भौतिकी के पीछे है (इसलिए नाम: तत्वमीमांसा)। लेकिन यूरोपीय ऑन्कोलॉजी और प्राकृतिक दर्शन की नींव पाइथागोरस (पाइथागोरस, सी। 580-सी। 500 ईसा पूर्व) द्वारा रखी गई थी।

उन्होंने एपिनेन प्रायद्वीप के दक्षिण में क्रोटोन में अपना स्कूल स्थापित किया - आज हम इसे एक संप्रदाय कहेंगे। विज्ञान (शब्द के वर्तमान अर्थ में), रहस्यवाद, धर्म और कल्पना सभी आपस में घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं। थॉमस मान ने डॉक्टर फॉस्टस के उपन्यास में एक जर्मन व्यायामशाला में गणित के पाठों को बहुत खूबसूरती से प्रस्तुत किया। मारिया कुरेत्सकाया और विटोल्ड विरप्सा द्वारा अनुवादित, यह अंश पढ़ता है:

चार्ल्स वैन डोरेन की दिलचस्प किताब, द हिस्ट्री ऑफ नॉलेज फ्रॉम द डॉन ऑफ हिस्ट्री टू द प्रेजेंट डे में, मुझे एक बहुत ही दिलचस्प दृष्टिकोण मिला। एक अध्याय में, लेखक पाइथागोरस स्कूल के महत्व का वर्णन करता है। अध्याय के शीर्षक ने ही मुझे प्रभावित किया। यह पढ़ता है: "गणित का आविष्कार: पाइथागोरस"।

हम अक्सर चर्चा करते हैं कि क्या गणितीय सिद्धांतों की खोज की जा रही है (उदाहरण के लिए अज्ञात भूमि) या आविष्कार किया गया है (उदाहरण के लिए मशीनें जो पहले मौजूद नहीं थीं)। कुछ रचनात्मक गणितज्ञ स्वयं को शोधकर्ताओं के रूप में देखते हैं, अन्य को अन्वेषकों या डिजाइनरों के रूप में, कम बार काउंटर के रूप में देखते हैं।

लेकिन इस पुस्तक के लेखक सामान्य रूप से गणित के आविष्कार के बारे में लिखते हैं।

अतिशयोक्ति से भ्रम तक

इस लंबे परिचयात्मक भाग के बाद, मैं बहुत शुरुआत में आगे बढ़ूंगा। ज्यामितियह वर्णन करने के लिए कि कैसे ज्यामिति पर अत्यधिक निर्भरता एक वैज्ञानिक को गुमराह कर सकती है। जोहान्स केप्लर को खगोलीय पिंडों की गति के तीन नियमों के खोजकर्ता के रूप में भौतिकी और खगोल विज्ञान में जाना जाता है। सबसे पहले, सौर मंडल में प्रत्येक ग्रह एक अंडाकार कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमता है, जिसका एक केंद्र सूर्य है। दूसरे, नियमित अंतराल पर सूर्य से खींची गई ग्रह की अग्रणी किरण समान क्षेत्र खींचती है। तीसरा, सूर्य के चारों ओर किसी ग्रह की परिक्रमा की अवधि के वर्ग का अनुपात उसकी कक्षा के अर्ध-प्रमुख अक्ष के घन (यानी, सूर्य से औसत दूरी) का अनुपात सौर मंडल के सभी ग्रहों के लिए स्थिर है।

शायद यह तीसरा नियम था - इसे स्थापित करने के लिए बहुत सारे डेटा और गणनाओं की आवश्यकता थी, जिसने केप्लर को ग्रहों की गति और स्थिति में पैटर्न की खोज जारी रखने के लिए प्रेरित किया। उनकी नई "खोज" का इतिहास बहुत शिक्षाप्रद है। प्राचीन काल से, हमने न केवल नियमित पॉलीहेड्रा की प्रशंसा की है, बल्कि यह दिखाने वाले तर्क भी हैं कि उनमें से केवल पांच अंतरिक्ष में हैं। एक त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन को नियमित कहा जाता है यदि इसके चेहरे समान नियमित बहुभुज होते हैं और प्रत्येक शीर्ष पर किनारों की संख्या समान होती है। उदाहरण के लिए, एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक कोने को "समान दिखना चाहिए"। सबसे प्रसिद्ध बहुफलक घन है। साधारण टखना तो सभी ने देखा है।

नियमित टेट्राहेड्रोन कम प्रसिद्ध है, और स्कूल में इसे नियमित त्रिकोणीय पिरामिड कहा जाता है। यह एक पिरामिड जैसा दिखता है। शेष तीन नियमित पॉलीहेड्रा कम प्रसिद्ध हैं। जब हम एक घन के किनारों के केंद्रों को जोड़ते हैं तो एक अष्टफलक बनता है। डोडेकाहेड्रॉन और इकोसाहेड्रोन पहले से ही गेंदों की तरह दिखते हैं। मुलायम चमड़े से बने, वे खुदाई करने में सहज होंगे। पांच प्लेटोनिक ठोसों के अलावा कोई नियमित पॉलीहेड्रा नहीं होने का तर्क बहुत अच्छा है। सबसे पहले, हम महसूस करते हैं कि यदि शरीर नियमित है, तो समान नियमित बहुभुजों की समान संख्या (मान लीजिए q) को प्रत्येक शीर्ष पर अभिसरण करना चाहिए, ये p-कोण हों। अब हमें यह याद रखने की आवश्यकता है कि एक सम बहुभुज में कोण क्या होता है। अगर किसी को स्कूल से याद नहीं है, तो हम आपको याद दिलाते हैं कि सही पैटर्न कैसे खोजा जाए। हमने कोने के चारों ओर एक यात्रा की। प्रत्येक शीर्ष पर हम एक ही कोण a से मुड़ते हैं। जब हम बहुभुज के चारों ओर घूमते हैं और प्रारंभिक बिंदु पर लौटते हैं, तो हमने p ऐसे मोड़ बनाए हैं, और कुल मिलाकर हम 360 डिग्री घूम गए हैं।

लेकिन α 180 डिग्री' उस कोण का पूरक है जिसकी हम गणना करना चाहते हैं, और इसलिए

हमें एक सम बहुभुज के कोण (एक गणितज्ञ कहेगा: कोण के माप) का सूत्र मिल गया है। आइए जाँच करें: त्रिभुज p = 3 में, कोई a नहीं है

इस प्रकार सं। जब p = 4 (वर्ग), तब

डिग्री भी ठीक है।

हमें एक पंचकोण के लिए क्या मिलता है? तो क्या होता है जब q बहुभुज होते हैं, प्रत्येक p में समान कोण होते हैं

 एक शीर्ष पर अवरोही डिग्री? यदि यह एक समतल पर होता, तो एक कोण बनता

डिग्री और 360 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता - क्योंकि तब बहुभुज ओवरलैप होते हैं।

हालांकि, चूंकि ये बहुभुज अंतरिक्ष में मिलते हैं, इसलिए कोण पूर्ण कोण से कम होना चाहिए।

और यहाँ वह असमानता है जिससे यह सब अनुसरण करता है:

इसे 180 से विभाजित करें, दोनों भागों को p से गुणा करें, क्रम (p-2) (q-2) <4। आइए जानते हैं कि p और q प्राकृत संख्याएँ होनी चाहिए और वह p > 2 (क्यों? और p क्या है?) और q > 2. भी 4 से कम दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल बनाने के कई तरीके नहीं हैं। हम उन सभी को सूचीबद्ध करेंगे। तालिका 1 में।

मैं चित्र पोस्ट नहीं करता, हर कोई इन आंकड़ों को इंटरनेट पर देख सकता है... इंटरनेट पर... मैं एक गीतात्मक विषयांतर से इनकार नहीं करूंगा - शायद यह युवा पाठकों के लिए दिलचस्प है। 1970 में मैंने एक सेमिनार में बात की थी। विषय कठिन था। मेरे पास तैयारी के लिए बहुत कम समय था, मैं शाम को बैठा। मुख्य लेख केवल-पढ़ने के लिए था। काम के माहौल के साथ जगह आरामदायक थी, ठीक है, यह सात बजे बंद हो गया। तब दुल्हन (अब मेरी पत्नी) ने खुद मेरे लिए पूरे लेख को फिर से लिखने की पेशकश की: लगभग एक दर्जन मुद्रित पृष्ठ। मैंने इसे कॉपी किया (नहीं, क्विल पेन से नहीं, हमारे पास पेन भी थे), व्याख्यान सफल रहा। आज मैंने इस प्रकाशन को खोजने की कोशिश की, जो पहले से ही पुराना है। मुझे केवल लेखक का नाम याद है... इंटरनेट पर खोजें लंबे समय तक चलीं... पूरे पंद्रह मिनट। मैं इसके बारे में एक मुस्कराहट और थोड़े अनुचित पछतावे के साथ सोचता हूं।

हम वापस जाते हैं केपलेरा और ज्यामिति. जाहिरा तौर पर, प्लेटो ने पांचवें नियमित रूप के अस्तित्व की भविष्यवाणी की क्योंकि उसके पास पूरी दुनिया को कवर करने वाली एकता की कमी थी। शायद इसीलिए उसने एक छात्रा (थीजटेट) को उसकी तलाश करने का निर्देश दिया। जैसा था, वैसा ही था, जिसके आधार पर डोडेकाहेड्रॉन की खोज की गई थी। हम प्लेटो सर्वेश्वरवाद के इस दृष्टिकोण को कहते हैं। न्यूटन तक सभी वैज्ञानिक कम या ज्यादा हद तक इसके आगे झुक गए। अत्यधिक तर्कसंगत अठारहवीं शताब्दी के बाद से, इसका प्रभाव काफी कम हो गया है, हालांकि हमें इस तथ्य से शर्मिंदा नहीं होना चाहिए कि हम सभी किसी न किसी तरह से इसके आगे झुक जाते हैं।

केपलर की सौर प्रणाली के निर्माण की अवधारणा में, सब कुछ सही था, प्रायोगिक डेटा सिद्धांत के साथ मेल खाता था, सिद्धांत तार्किक रूप से सुसंगत था, बहुत सुंदर ... लेकिन पूरी तरह से झूठा था। उनके समय में, केवल छह ग्रह ज्ञात थे: बुध, शुक्र, पृथ्वी, मंगल, बृहस्पति और शनि। केवल छह ग्रह ही क्यों हैं? केप्लर ने पूछा। और कौन सी नियमितता सूर्य से उनकी दूरी निर्धारित करती है? उन्होंने माना कि सब कुछ जुड़ा हुआ था, कि ज्यामिति और ब्रह्मांड विज्ञान एक दूसरे से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। प्राचीन यूनानियों के लेखन से, वह जानता था कि केवल पाँच नियमित पॉलीहेड्रा थे। उसने देखा कि छः कक्षाओं के बीच पाँच रिक्तियाँ थीं। तो हो सकता है कि इनमें से प्रत्येक खाली स्थान कुछ नियमित पॉलीहेड्रॉन से मेल खाता हो?

कई वर्षों के अवलोकन और सैद्धांतिक कार्य के बाद, उन्होंने निम्नलिखित सिद्धांत बनाया, जिसकी मदद से उन्होंने कक्षाओं के आयामों की काफी सटीक गणना की, जिसे उन्होंने 1596 में प्रकाशित "मिस्टीरियम कॉस्मोग्राफिकम" पुस्तक में प्रस्तुत किया: एक विशाल क्षेत्र की कल्पना करें, जिसका व्यास सूर्य के चारों ओर अपनी वार्षिक गति में बुध की कक्षा का व्यास है। फिर कल्पना करें कि इस गोले पर एक नियमित अष्टफलक है, उस पर एक गोला है, उस पर एक आइकोसाहेड्रोन है, उस पर फिर से एक गोला है, उस पर एक डोडेकाहेड्रोन है, उस पर एक और गोला है, उस पर एक चतुष्फलक है, फिर एक गोला है, एक घन है और, अंत में, इस घन पर गेंद का वर्णन किया गया है।

केप्लर ने निष्कर्ष निकाला कि इन क्रमिक क्षेत्रों के व्यास अन्य ग्रहों की कक्षाओं के व्यास थे: बुध, शुक्र, पृथ्वी, मंगल, बृहस्पति और शनि। सिद्धांत बहुत सटीक लग रहा था। दुर्भाग्य से, यह प्रायोगिक डेटा के साथ मेल खाता है। और प्रयोगात्मक डेटा या अवलोकन डेटा, विशेष रूप से "स्वर्ग से लिया गया" के साथ इसके पत्राचार की तुलना में गणितीय सिद्धांत की शुद्धता का बेहतर सबूत क्या है? मैं इन गणनाओं को तालिका 2 में संक्षेपित करता हूं। तो केप्लर ने क्या किया? मैंने कोशिश की और तब तक कोशिश की जब तक कि यह काम नहीं किया, यानी, जब विन्यास (गोले का क्रम) और परिणामी गणना अवलोकन डेटा के साथ मेल खाती थी। यहाँ आधुनिक केपलर के आंकड़े और गणनाएँ हैं:

कोई भी सिद्धांत के मोह के आगे झुक सकता है और विश्वास कर सकता है कि आकाश में माप गलत हैं, न कि कार्यशाला की खामोशी में की गई गणना। दुर्भाग्य से, आज हम जानते हैं कि कम से कम नौ ग्रह हैं और परिणामों के सभी संयोग मात्र एक संयोग हैं। दया। कितनी खूबसूरत थी...