रंगीन वर्ग और सूर्य ग्रहण

लेख मध्य विद्यालय के छात्रों - राष्ट्रीय बाल कोष के छात्रवृत्ति धारकों के लिए मेरी कक्षाओं का वर्णन करता है। फाउंडेशन विशेष रूप से प्रतिभाशाली बच्चों और युवाओं (प्राथमिक विद्यालय के ग्रेड XNUMX से हाई स्कूल तक) की तलाश करता है और चयनित छात्रों को "छात्रवृत्ति" प्रदान करता है। हालाँकि, वे नकदी निकालने में बिल्कुल भी शामिल नहीं हैं, लेकिन कई वर्षों में, एक नियम के रूप में, प्रतिभा के विकास के लिए व्यापक देखभाल में। इस प्रकार की कई अन्य परियोजनाओं के विपरीत, जाने-माने वैज्ञानिक, सांस्कृतिक हस्तियां, प्रमुख मानवतावादी और अन्य बुद्धिमान लोग, साथ ही कुछ राजनेता फाउंडेशन के वार्डों को गंभीरता से लेते हैं।

फाउंडेशन की गतिविधियाँ कला सहित खेल को छोड़कर सभी विषयों तक फैली हुई हैं जो बुनियादी स्कूल के विषय हैं। यह फंड 1983 में तत्कालीन वास्तविकता के प्रतिकारक के रूप में बनाया गया था। कोई भी व्यक्ति फंड के लिए आवेदन कर सकता है (आमतौर पर स्कूल के माध्यम से, अधिमानतः स्कूल वर्ष के अंत से पहले), लेकिन, निश्चित रूप से, एक निश्चित छलनी, एक निश्चित योग्यता प्रक्रिया होती है।

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, लेख मेरी मास्टर कक्षाओं पर आधारित है, विशेष रूप से मार्च 2016 में ग्डिनिया में, III हाई स्कूल के 24वें जूनियर हाई स्कूल में। नौसेना। कई वर्षों से, इन सेमिनारों का आयोजन फाउंडेशन के तत्वावधान में असाधारण करिश्मा और उच्च बौद्धिक स्तर के शिक्षक वोज्शिएच थोमाल्स्की द्वारा किया जाता रहा है। 2008 में, उन्होंने पोलैंड में शीर्ष दस में प्रवेश किया, जिन्हें शिक्षाशास्त्र के प्रोफेसर की उपाधि से सम्मानित किया गया (कई साल पहले कानून द्वारा प्रदान किया गया)। इस कथन में थोड़ी अतिशयोक्ति है: "शिक्षा विश्व की धुरी है"।

और चाँद हमेशा आकर्षक होते हैं - तब आप महसूस कर सकते हैं कि हम एक विशाल अंतरिक्ष में एक छोटे से ग्रह पर रहते हैं, जहां सब कुछ गतिमान है, सेंटीमीटर और सेकंड में मापा जाता है। यह मुझे थोड़ा डराता भी है, समय के नजरिए से भी। हम सीखते हैं कि आज के वारसॉ के क्षेत्र से दिखाई देने वाला अगला पूर्ण ग्रहण ... 2681 में होगा। मुझे आश्चर्य है कि इसे कौन देखेगा? हमारे आकाश में सूर्य और चंद्रमा के स्पष्ट आकार लगभग समान हैं - यही कारण है कि ग्रहण इतने छोटे और इतने शानदार होते हैं। सदियों तक, खगोलविदों को सौर कोरोना को देखने के लिए वे छोटे मिनट पर्याप्त होने चाहिए। यह अजीब है कि वे साल में दो बार होते हैं... लेकिन इसका मतलब केवल इतना है कि पृथ्वी पर कहीं न कहीं उन्हें थोड़े समय के लिए देखा जा सकता है। ज्वारीय गतियों के परिणामस्वरूप, चंद्रमा पृथ्वी से दूर जा रहा है - 260 मिलियन वर्षों में यह इतना दूर हो जाएगा कि हम (हम???) केवल वलयाकार ग्रहण देखेंगे।

जाहिर तौर पर भविष्यवाणी करने वाले पहले व्यक्ति ग्रहण, मिलेटस के थेल्स (28-585 शताब्दी ईसा पूर्व) थे। हम शायद यह नहीं जान पाएंगे कि क्या वास्तव में ऐसा हुआ था, यानी कि क्या उन्होंने इसकी भविष्यवाणी की थी, क्योंकि यह तथ्य कि एशिया माइनर में ग्रहण 567 मई, 566 ईसा पूर्व को हुआ था, आधुनिक गणनाओं द्वारा पुष्टि किया गया तथ्य है। बेशक, मैं आज के समय के विवरण के लिए डेटा का हवाला देता हूं। जब मैं बच्चा था तो मैं कल्पना करता था कि लोग वर्षों की गिनती कैसे करते हैं। तो, उदाहरण के लिए, यह XNUMX ईसा पूर्व है, नए साल की पूर्वसंध्या आ रही है और लोग खुशियाँ मना रहे हैं: केवल XNUMX वर्ष ईसा पूर्व! जब आख़िरकार "हमारा युग" आया तो वे कितने ख़ुश हुए होंगे! कुछ वर्ष पहले हमने सहस्राब्दियों का कैसा मोड़ अनुभव किया था!

तिथियों और सीमाओं की गणना का गणित ग्रहणों, विशेष रूप से जटिल नहीं है, लेकिन नियमितता से जुड़े सभी प्रकार के कारकों से भरा हुआ है, और इससे भी बदतर, कक्षाओं में शरीर की असमान गति के साथ। मैं भी यह गणित जानना चाहूंगा. थेल्स ऑफ़ मिलिटस आवश्यक गणना कैसे कर सकते थे? उत्तर सीधा है। आपके पास एक आकाश मानचित्र होना चाहिए। ऐसा नक्शा कैसे बनाएं? यह भी मुश्किल नहीं है, प्राचीन मिस्रवासी यह करना जानते थे। आधी रात को, दो पुजारी मंदिर की छत पर आते हैं। उनमें से प्रत्येक बैठता है और जो देखता है उसे खींचता है (अपने सहयोगी की तरह)। दो हजार साल बाद हम ग्रहों की चाल के बारे में सब कुछ जानते हैं...

सुंदर ज्यामिति, या "गलीचा" पर मज़ा

यूनानियों को संख्याएँ पसंद नहीं थीं, उन्होंने ज्यामिति का सहारा लिया। हम यही करेंगे. हमारा ग्रहण वे सरल, रंगीन, लेकिन उतने ही रोचक और वास्तविक होंगे। हम इस परंपरा को स्वीकार करते हैं कि नीला चित्र इस प्रकार चलता है कि वह लाल चित्र को ग्रहण कर लेता है। आइए नीली आकृति को चंद्रमा और लाल आकृति को सूर्य कहें। हम स्वयं से निम्नलिखित प्रश्न पूछते हैं:

1. ग्रहण कितने समय तक चलता है;
2. जब लक्ष्य का आधा भाग पूरा हो जाए;

   चावल। 1 सूर्य और चंद्रमा के साथ बहुरंगी "कालीन"।

3. अधिकतम कवरेज क्या है;
4. क्या समय पर शील्ड कवरेज की निर्भरता का विश्लेषण करना संभव है? इस लेख में (मैं पाठ की मात्रा के कारण सीमित हूं) मैं दूसरे प्रश्न पर ध्यान केंद्रित करूंगा। इसके पीछे एक अच्छी ज्यामिति है, शायद उबाऊ गणनाओं के बिना। आइए अंजीर देखें। 1. क्या यह माना जा सकता है कि इसका संबंध सूर्य ग्रहण से होगा?

मुझे ईमानदारी से कहना चाहिए कि जिन कार्यों पर मैं चर्चा करूंगा, वे विशेष रूप से चयनित होंगे, जो मध्य और उच्च विद्यालय के छात्रों के ज्ञान और कौशल के अनुरूप होंगे। लेकिन हम ऐसे कार्यों पर प्रशिक्षण लेते हैं जैसे संगीतकार तराजू बजाते हैं, और एथलीट सामान्य विकासात्मक अभ्यास करते हैं। इसके अलावा, क्या यह सिर्फ एक खूबसूरत गलीचा नहीं है (चित्र 1)?

चावल। 2 "नीला" चंद्रमा और "लाल" सूर्य

हमारे खगोलीय पिंड, कम से कम शुरुआत में, रंगीन वर्ग होंगे। चंद्रमा नीला है, सूर्य लाल है (रंग भरने के लिए सर्वोत्तम)। वर्तमान के साथ ग्रहण चंद्रमा आकाश में सूर्य का पीछा करता है, पकड़ लेता है... और उसे बंद कर देता है। हमारे साथ भी ऐसा ही होगा. सबसे सरल मामला, जब चंद्रमा सूर्य के सापेक्ष चलता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 2. ग्रहण तब शुरू होता है जब चंद्रमा की डिस्क का किनारा सूर्य की डिस्क के किनारे को छूता है (चित्र 2) और समाप्त होता है जब यह उससे आगे चला जाता है।

चावल। 3 चंद्रमा तिरछे सूर्य के निकट आता है

हम मानते हैं कि "चंद्रमा" प्रति इकाई समय में एक सेल चलता है, उदाहरण के लिए, प्रति मिनट। ग्रहण तब समय की आठ इकाइयों तक रहता है, मान लीजिए मिनट। आधा सूर्य ग्रहण डायल का आधा हिस्सा पूरी तरह से मंद हो गया दो बार बंद हो गया: 2 और 6 मिनट के बाद। प्रतिशत अस्पष्टता ग्राफ़ सरल है. पहले दो मिनट के दौरान, शील्ड शून्य से 1 की दर से समान रूप से बंद होती है, अगले दो मिनट में यह उसी दर से उजागर होती है।

यहां एक अधिक दिलचस्प उदाहरण है (चित्र 3)। चंद्रमा तिरछे होकर सूर्य के निकट आता है। हमारे प्रति मिनट भुगतान समझौते के अनुसार, ग्रहण 8√ तक रहता है2 मिनट - इस समय के बीच में हमारे पास कुल ग्रहण है। आइए गणना करें कि समय टी (चित्र 3) के बाद सूर्य का कौन सा हिस्सा ढका हुआ है। यदि ग्रहण की शुरुआत के t मिनट बीत चुके हैं, और परिणामस्वरूप चंद्रमा चित्र में दिखाया गया है। 5, तब (ध्यान!) इसलिए, यह कवर किया गया है (वर्ग APQR का क्षेत्र), आधे सौर डिस्क के बराबर; इसलिए, इसे कवर किया गया था, अर्थात। 4 मिनट बाद (फिर ग्रहण समाप्त होने से 4 मिनट पहले)।

चावल। 4 "छायांकन" फ़ंक्शन का ग्राफ़

समग्रता एक क्षण तक रहता है (t = 4√2), और "छायांकित भाग" फ़ंक्शन के ग्राफ़ में परवलय के दो चाप होते हैं (चित्र 4)।

हमारा नीला चंद्रमा लाल सूरज के साथ कोने को छूएगा, लेकिन यह इसे कवर करेगा, तिरछे नहीं, बल्कि थोड़ा तिरछे चलते हुए। दिलचस्प ज्यामिति तब दिखाई देती है जब हम आंदोलन को थोड़ा जटिल करते हैं (चित्र 6)। गति की दिशा अब वेक्टर [4,3] है, यानी, "चार कोशिकाएँ दाईं ओर, तीन कोशिकाएँ ऊपर।" सूर्य की स्थिति ऐसी है कि ग्रहण तब शुरू होता है (स्थिति ए) जब "आकाशीय पिंडों" के किनारे उनकी लंबाई के एक चौथाई तक एकत्रित हो जाते हैं। जब चंद्रमा स्थिति बी में जाता है, तो यह सूर्य के छठे हिस्से को ग्रहण करेगा, और स्थिति सी में यह सूर्य के आधे हिस्से को ग्रहण करेगा। स्थिति डी में, हमारे पास पूर्ण ग्रहण होता है, और फिर सब कुछ वापस आ जाता है, "जैसा था।"

चावल। 5 सूर्य का भाग t समय के दौरान छिपा हुआ है

ग्रहण तब समाप्त होता है जब चंद्रमा स्थिति जी में होता है। यह इतने लंबे समय तक चलता रहा अनुभाग की लंबाई एजी. यदि, पहले की तरह, हम समय की एक इकाई के रूप में उस समय को लेते हैं जिसके दौरान चंद्रमा "एक वर्ग" से गुजरता है, तो एजी की लंबाई बराबर होती है। यदि हम पुरानी परिपाटी पर वापस जाएं कि हमारे आकाशीय पिंड 4 बटा 4 हैं, तो परिणाम भिन्न होगा (क्या?)। जैसा कि दिखाना आसान है, लक्ष्य t <15 के बाद बंद हो जाता है। "स्क्रीन कवरेज का प्रतिशत" फ़ंक्शन का ग्राफ़ अंजीर में देखा जा सकता है। 6.

चावल। 6 "प्रतिशत सुरक्षा" फ़ंक्शन का ग्राफ़

ग्रहण और छलांग समीकरण

चावल। 7 चित्र में दिखाए गए ग्रहण के दौरान सौर डिस्क का अवरोध। 6

यदि हम वृत्तों के मामले पर विचार नहीं करते तो ग्रहणों की समस्या अधूरी होगी। यह बहुत अधिक जटिल है, लेकिन आइए यह पता लगाने का प्रयास करें कि कब एक वृत्त दूसरे के आधे हिस्से को ग्रहण करता है - और सबसे सरल मामले में, जब उनमें से एक उन दोनों को जोड़ने वाले व्यास के साथ चलता है। यह चित्र कुछ क्रेडिट कार्ड धारकों के लिए परिचित है।

फ़ील्ड की स्थिति की गणना करना जटिल है, क्योंकि इसके लिए सबसे पहले, एक गोलाकार खंड के क्षेत्र के लिए सूत्र का ज्ञान, दूसरा, कोण के चाप का ज्ञान, और तीसरा (और सबसे खराब), क्षमता की आवश्यकता होती है। एक निश्चित छलांग समीकरण को हल करने के लिए। मैं यह नहीं समझाऊंगा कि "सकर्मक समीकरण" क्या है, आइए एक उदाहरण देखें (चित्र 8)।

चावल। 8 "गोलाकार" ग्रहण

एक वृत्ताकार खंड वह "कटोरा" है जो एक वृत्त को सीधी रेखा से काटने के बाद बचता है। ऐसे खंड का क्षेत्रफल S = 1/2r है²(φ-sinφ), जहां r वृत्त की त्रिज्या है, और φ केंद्रीय कोण है जिस पर खंड टिका हुआ है (चित्र 8)। इसे वृत्ताकार त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

एपिसोड ओ₁O₂ (वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी) तब 2rcosφ/2 के बराबर होती है, और ऊंचाई (चौड़ाई, "कमर रेखा") h = 2rsinφ/2 होती है। इसलिए, यदि हम यह गणना करना चाहते हैं कि चंद्रमा सौर डिस्क के आधे हिस्से को कब कवर करेगा, तो हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है: जो, सरलीकरण के बाद, बन जाता है:

चावल। दो कार्यों के 9 ग्राफ़

ऐसे समीकरणों का समाधान सरल बीजगणित से परे होता है - समीकरण में कोण और उनके त्रिकोणमितीय कार्य दोनों शामिल होते हैं। यह समीकरण पारंपरिक तरीकों की पहुंच से परे है। इसीलिए इसे कहा जाता है कूदना. आइए पहले दोनों फ़ंक्शनों, यानी फ़ंक्शन और फ़ंक्शंस के ग्राफ़ को देखें। हम इस आंकड़े से एक अनुमानित समाधान पढ़ सकते हैं। हालाँकि, हम एक पुनरावृत्त सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं या... एक्सेल स्प्रेडशीट में सॉल्वर विकल्प का उपयोग कर सकते हैं। प्रत्येक हाई स्कूल छात्र को ऐसा करने में सक्षम होना चाहिए, क्योंकि यह 20वीं सदी है। मैंने एक अधिक परिष्कृत गणित उपकरण का उपयोग किया और यहां अनावश्यक परिशुद्धता के XNUMX दशमलव स्थानों के साथ हमारा समाधान है:

सेटप्रिसिजन[फाइंडरूट[x==सिन[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

चावल। 10 मेटेमेटिका में ग्रहण का एनीमेशन

हम इसे 180/π से गुणा करके डिग्री में बदल देते हैं। हमें 132 डिग्री, 20 मिनट, 45 और एक चौथाई चाप सेकंड मिलता है। हम गणना करते हैं कि वृत्त के केंद्र की दूरी O है₁O₂ = 0,808 त्रिज्या, और "कमर" 2,310।