अंदाजा लगाइए कि सुनहरी गेंद किस हाथ में है
पूर्व-कोविड युग में वापस (ओह, वह कब था?) मुझे एक बार "ग्रीन स्कूल" में भाग लेने के लिए कहा गया था। उचित आराम के अलावा, बैठक गणित, अर्थात् क्षेत्र और उसके गुणों के लिए समर्पित थी। यह विषय आमतौर पर स्कूल में छोड़ दिया जाता है क्योंकि... ठीक है, मुझे नहीं पता क्यों।
उसके बाद, भूविज्ञान के छात्रों को भी पता नहीं है कि देशांतर क्या है (असली बात मेरे साथ हुई - मैंने विश्वविद्यालय के उपयुक्त विभाग में एक व्याख्यान दिया)। बैठक बेहद सफल रही, नेतृत्व और इसे आयोजित करने वाले तीन शिक्षकों की सराहना। शिक्षण केवल 45 मिनट की वेतन वृद्धि में सुबह 8 बजे से शाम XNUMX बजे या शाम XNUMX बजे तक ज्ञान स्थानांतरित करने के बारे में नहीं है। खैर, अब दूरस्थ शिक्षा के साथ सब कुछ अलग है। अधिक से अधिक शिक्षक इस बात पर बहस कर रहे हैं कि पारंपरिक कक्षा प्रणाली को कैसे बदला जाए... तो क्या? याद रखें कि हम "जीवित जीव" - बच्चों पर प्रयोग कर रहे हैं। जीवन के ज्ञान से युक्त सुनहरी गेंद कहाँ है?
मैं असाधारण रूप से प्रतिभाशाली बच्चों के लिए राष्ट्रीय बाल कोष छात्रवृत्ति के लिए छात्र आवेदनों की समीक्षा कर रहा हूं। Leszno की ओर से हमेशा काफी संदेश आते थे। वे उस वर्ष में थे, लेकिन हर दूसरे बच्चे (निम्न ग्रेड के एक छात्र) ने लिखा: "जब से मेरी शिक्षिका, श्रीमती आई, चली गईं, मेरी गणित में रुचि कम हो गई है।" हालांकि, ल्यूबेल्स्की से कई आवेदन थे, जिन्हें अब तक बहुत कम जमा किया गया है। पाठकों के लिए एक पहेली: श्रीमती आई. लेश्नो से किस शहर में गई थीं? ल्यूबेल्स्की को? हाँ, लेकिन पाठकों, आप इसके साथ कैसे आए?
एक गोले की सतह एक गोला है (लैटिन क्षेत्र से 'गेंद, आकाश')। यह गणितीय शब्द बोलचाल की भाषा में प्रवेश कर गया है: हम महान शक्तियों के प्रभाव के क्षेत्रों, किसी के हितों और सामाजिक क्षेत्रों के क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। "ओह, वह हमारे क्षेत्र की नहीं है," इस खूबसूरत देशी लड़की से काउंटेस ने कहा, जिससे युवा स्वामी को प्यार हो गया था। और फिर सभी ने समाज को संकेंद्रित गोले के रूप में कल्पना की, एक दूसरे के लिए अभेद्य: एक ओर, हम सबसे अच्छी कंपनी में हैं, निश्चित रूप से, दूसरी ओर, यह गरीब लड़की और यहां तक कि ज्यामिति भी कहती है "सिंड्रेला: तुम जहां हो वहीं रहो!"।
गोलाकार आकृति से मोहित होना कठिन नहीं है। रात में खुले आसमान के नीचे, शहरों से दूर, सर्दियों में ऊंचे पहाड़ पर रहना काफी है। आइए ऊपर देखें: क्या हम आकाशीय क्षेत्र को स्पष्ट रूप से नहीं देखते हैं? दूर के तारे इसमें शामिल होते हैं, उनकी पृष्ठभूमि के खिलाफ भटकते हुए खगोलीय पिंड निकटवर्ती क्षेत्रों में चलते हैं: ग्रह। टॉलेमी ने सिखाया कि पृथ्वी ब्रह्मांड का केंद्र है और नौ संकेंद्रित क्रिस्टल क्षेत्रों से घिरी हुई है।
पहले सात में सात ज्ञात ग्रह हैं: डायना (= चंद्रमा), बुध, शुक्र, अपोलो (= सूर्य), मंगल, बृहस्पति और शनि। आठवें गोले में स्थिर तारे थे। नौ बजे एक हैंडल की तरह था जो घड़ी की गति को नियंत्रित करता है: वसंत विषुव उनके साथ चला गया। मध्य युग में, इस प्रणाली में एक दसवां क्षेत्र जोड़ा गया था: प्राइम मूवर, एक वसंत की तरह, हर चीज चलती है, एक प्रेरक शक्ति, एक कठोर खोल जो दुनिया को गैर-अस्तित्व से अलग करती है। पाइथागोरस गोले के सामंजस्य में विश्वास करते थे - कि ग्रह अपने गोले से गुजरते हुए अत्यंत सुखद ध्वनियाँ निकालते हैं। आखिर दुनिया एक नंबर और संगीत है।
स्कूली बच्चों के लिए गणित ओलंपियाड में, जो हमने उपरोक्त ग्रीन स्कूल में आयोजित किया था, प्रतियोगिता भयंकर थी दो दल. खैर, एक जीता (33:31), दूसरा हार गया। जैसे खेल में होता है।
स्टार्टर्स को दो टीमों में विभाजित करने का एल्गोरिदम गणितीय दृष्टिकोण से इतना दिलचस्प है कि मैं इस पर विस्तार से ध्यान दूंगा। यहां समस्या, निश्चित रूप से, मजबूत और कमजोर टीमों की समान योग्यता है। लेकिन स्थिर क्या है? जाहिर है, सबसे अच्छा विकल्प यादृच्छिक है: प्रत्येक खिलाड़ी बॉक्स से 1 या 2 शब्दों के साथ कागज का एक टुकड़ा लेता है और उपयुक्त टीम में जाता है। लेकिन... यदि आप एक सिक्के को 10 बार पलटते हैं, तो परिणाम का केवल 25 प्रतिशत ही परिणाम 5:5 होगा, जो कि पांच शीर्ष और पांच शीर्ष है। इसलिए, हम देखते हैं कि 75 प्रतिशत संभावना के साथ टीमें असमान होंगी।
एक स्पष्ट रूप से अनुचित तरीका है जिसमें दो पहले नियुक्त किए गए हैं कप्तान अपनी टीम के सदस्यों को चुनते हैं एक के बाद एक: एक बार तुम, फिर मैं। पहले कप्तान को हमेशा फायदा होता है, वह बाकी में से सर्वश्रेष्ठ को चुन सकता है। इसी तरह, फ़ुटबॉल में, एक कप मैच के विजेता का निर्धारण पेनल्टी स्पॉट से किया जाता है। एक टीम हमेशा पहले गोली मारती है। टेनिस में चीजें बेहतर होती हैं जहां सर्वर हमेशा सबसे अच्छी स्थिति में होता है। एक टाई-ब्रेक गेम में, ए की पहली सर्व के बाद, दूसरा दो बार सर्व करता है, फिर ए दो बार, और फिर दो सर्व करता है, बारी-बारी से बी, ए, ... को दो जीतने वाले अंकों के लाभ के लिए।
यह विधि दो छात्र टीमों के चयन के लिए भी बहुत उपयुक्त नहीं है। मैं जिस विधि का वर्णन करूंगा, वह गणितज्ञों द्वारा तथाकथित स्टीनहॉस एल्गोरिथम से लिए गए एक विचार पर बनाई गई थी। यह आमतौर पर गणित के मैचों में उपयोग किया जाता है, जैसे कि प्री-ओलंपिक प्रीलिमिनरी। दिलचस्प बात यह है कि जब हम घर के पीछे के खाली वर्ग में "फुटबॉल खेलना" चाहते थे, तो हमने अपने पिछवाड़े में एक बहुत ही समान प्रणाली का इस्तेमाल किया था। कई लड़के थे (मैं युद्ध के बाद के बेबी बूम की पहली लहर से आया हूं)।
एल्गोरिथ्म इस प्रकार है। सिक्का तय करता है कि किस कप्तान (ए या बी) को पहले चुना जाएगा। इसे ए होने दें। वह खिलाड़ी को इंगित करता है, और अब (ध्यान दें!) कप्तान बी तय करता है कि यह खिलाड़ी पहली या दूसरी टीम में जाएगा या नहीं। और इसलिए बारी-बारी से। एक खिलाड़ी का चयन करता है, दूसरा उसे नियुक्त करता है। दूसरा इंगित करता है कि पहली हाइलाइट्स।
मनोवैज्ञानिक कठिनाइयों पर ध्यान दें। यदि कप्तान ए सर्वश्रेष्ठ को चुनता है, तो बी उसे तुरंत अपनी टीम में शामिल कर लेगा। यदि वह सबसे कमजोर को इंगित करता है, तो बी कहेगा: "बहुत अच्छा, उसे ले लो" ... लेकिन थोड़ी देर बाद भूमिकाएं उलट दी जाएंगी। तो आप कैसे खेलते हैं?
सामाजिक इंजीनियरिंग और सामाजिक मनोविज्ञान की एक निश्चित मात्रा यहाँ मदद करती है। खासकर जब युवा लोग चयन में शामिल होते हैं, तो पसंद और नापसंद बहुत महत्वपूर्ण होते हैं, न कि केवल एक अनिश्चित "स्तर"। विशेष रूप से, किसी भी खिलाड़ी को कप्तान ए के रूप में चुनने के बाद, कप्तान बी मूल्यांकन करता है कि क्या कहा गया टीममेट (निर्दिष्ट मित्र) प्रतिभागियों के शीर्ष या निचले आधे हिस्से में है। क्या मैं उसे चाहता/चाहती हूँ या उसे A के पास जाने देता हूँ? मेरे पास एक विकल्प है। यदि मैं निर्दिष्ट सदस्य को ऊपरी आधे हिस्से में देखता हूं, तो मैं उसे अंदर ले जाता हूं, और यदि मैं निर्दिष्ट सदस्य को निचले आधे हिस्से में देखता हूं, तो मैं उसे छोड़ देता हूं। भूमिका बदल रही है, अब बी और ए अंक क्वालीफाई करते हैं। वह ऐसा ही करता है। यदि वह संकेतित व्यक्ति का अच्छी तरह से मूल्यांकन करता है, तो वह उसे व्यक्तिगत रूप से लेता है, यदि वह गलत है, तो वह छोड़ देता है। इस तरह, हर कप्तान हर बार बेहतर (या कम से कम बराबर!) हो जाता है। हर कोई सोचता है कि उसने सबसे अच्छा चुनाव किया, कि उसकी टीम बेहतर है। गणित ऐसे नाजुक मामलों में भी लोगों को खुश कर सकता है।
ऐसे सवालों के साथ ही मेरे ग्रीन स्कूल के प्रतियोगी लड़े। जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ प्रश्न हैं। गैर-गणितीय, चुनौतीपूर्ण और मजेदार.
- लॉक्सोड्रोम क्या है?
- आपके पास 20 गेंदें हैं। चतुष्फलक की ऊँचाई कितनी है जो इनसे बनी हो सकती है? 10-परत वाले टेट्राहेड्रोन के लिए आपको कितनी गेंदों की आवश्यकता होगी?
- मैंने तम्बू छोड़ दिया। मैं एक किलोमीटर पश्चिम चला, फिर एक किलोमीटर उत्तर, फिर एक किलोमीटर दक्षिण। इस तरह मैं अपने डेरे में समाप्त हुआ। उसके सामने एक भालू बैठ गया। वह कौन सा रंग था?
- व्यास 1 की कितनी गेंदें व्यास 2 की एक गेंद में फिट होंगी?
- निम्नलिखित खेलों में उपयोग की जाने वाली सबसे छोटी से सबसे बड़ी गेंद को क्रमबद्ध करें: टेनिस, टेबल टेनिस, फुटबॉल, वॉलीबॉल, बास्केटबॉल, वाटर पोलो।
- कौन सी गेंद न तो गोलाकार है और न ही अंडाकार (जैसे रग्बी या अमेरिकी फुटबॉल में)?
- गेंद से संबंधित नीतिवचन और बातें सूचीबद्ध करें।
- एक मजाक के साथ आओ जो "डॉक्टर के लिए एक गोली उड़ती है" शब्दों से शुरू होती है।
- 1 मीटर की भुजा वाले घन में एक गोला खुदा हुआ है। क्या कोने में 20 सेमी की गेंद के लिए पर्याप्त जगह है?
- क्या 1 इंच का घन 1 सेंटीमीटर त्रिज्या के गोले में फिट हो सकता है?
- जैसा कि आप जानते हैं, अतीत में, तोप के गोले वास्तव में गोलाकार होते थे। आज वे नहीं हैं। आपने रॉकेट के आकार को क्या बदल दिया?
- गोले का आयतन p2 घन सेंटीमीटर है। इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना कीजिए।
- यह त्रिज्या वाला एक वृत्त है
यह त्रिज्या के गोले पर स्थित हो सकता है
- कंटेनर B में 100 सफेद गेंदें हैं, कंटेनर C में 100 काली गेंदें हैं। हम बेतरतीब ढंग से कंटेनर बी से 10 गेंदों का चयन करते हैं और उन्हें सी में छोड़ देते हैं। वर्तमान में सी में 110 गेंदों में से, हम यादृच्छिक रूप से 10 का चयन करते हैं और उन्हें बी में छोड़ देते हैं। क्या बी में अधिक काली गेंदें हैं या सी में सफेद गेंदें हैं?
- गेंद की छाया किस आकार की हो सकती है?
- पृथ्वी पर कौन सा समानांतर भूमध्य रेखा की लंबाई का आधा है?
- ग्रह T समान रूप से घास से ढका हुआ है। ग्रह पर किसी बिंदु पर, एक बकरी बंधी होती है। जंजीर कितनी लंबी होनी चाहिए ताकि बकरी ग्रह पर ठीक आधी घास तक पहुंच सके?
- कविता में, पान तदेउज़ स्टोलनिक को गोली मार दी गई थी। किसकी राइफल को गोली लगी थी?
- KULA शब्द में अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करने से कितने चार अक्षर वाले शब्द (सार्थक या नहीं) बन सकते हैं?
- क्या घन के सभी किनारों को छूने वाली गेंद है? है, तो इसकी त्रिज्या परिकलित कीजिए। यदि नहीं, तो न्यायोचित ठहराइए।
टिप्पणियाँ। मैं यह पता लगाने का प्रस्ताव करता हूं (किस इंटरनेट से?) लोक्सोड्रोम क्या है।
टास्क 2 काफी मुश्किल है। बीस समान गेंदों को टेट्राहेड्रोन 10 + 6 + 3 + 1 (दस गेंदें नीचे, फिर छह, तीन और एक) में बनाया जा सकता है। इस तरह के एक ब्लॉक में चार परतें होती हैं, लेकिन यह प्रत्येक गोले के व्यास के चार गुना से भी कम होती है - गेंदें निचली मंजिल के खांचे में गिरती हैं।
हालांकि मैं इस चुनौती पर चर्चा करूंगा... मैं फैसला नहीं करूंगा. मैं इसे इच्छुक पाठक पर छोड़ता हूँ। मेरा मतलब है, दूसरों के बीच, स्ज़ेसिन से मेरे दोस्त काज़िमिर्ज़। काजीउ - आप इसे जरूर पसंद करेंगे। आखिरकार, हम कार्य को स्कूल से जोड़ते हैं। यह वह गुच्छा है जो हम फोटो में देख रहे हैं। ये संतरे बहुत अच्छे थे... कोई भी विक्रेता जानता है कि सेब, संतरा, नींबू और इस तरह के अन्य कठोर फल (टमाटर उखड़ सकते हैं) डालना सबसे अच्छा है। ठीक है, पिछली शताब्दी के अंत में ही 1610 में जोहान्स केपलर द्वारा प्रस्तुत समस्या हल हो गई थी, अर्थात्, गणितीय रूप से कैसे दिखाया जाए कि यह वास्तव में सबसे अच्छा तरीका है। अधिक सटीक रूप से, समान गोले इस व्यवस्था के साथ अंतरिक्ष में सबसे छोटे स्थान पर कब्जा कर लेते हैं। यह सिर्फ 75 प्रतिशत से कम है। यह एक रोमांचक गणितीय समस्या है क्योंकि यह बड़ी जगहों में होती है, लेकिन यह फिर से एक अन्य लेख का विषय है।
जिस स्कूल में मैं कुछ समय पहले गया था, वह अभी भी ग्यारह साल पुराना था। अंतिम से पहले, दसवीं कक्षा में, पूरा वर्ष ज्यामिती और त्रिकोणमिति का था। मुझे हेनरिक पस्निव्स्की की समस्याओं का समूह याद है - क्या नहीं था? टेट्राहेड्रा, प्रिज्म और पिरामिड हर संभव तरीके से काटे जाते हैं। अरे हाँ, बैसाखियाँ कम थीं। क्योंकि यह कठिन है, चित्र बनाना भी आसान नहीं है।
तब से, स्कूल में त्रिकोणमिति को बहुत छोटा कर दिया गया है, पतित कर दिया गया है। किसी भी बूढ़े आदमी की तरह, मुझे याद है कि सब कुछ "तब" बेहतर था। बेशक, यह सच नहीं है। सभी नहीं। एक इंजीनियर और सर्वेक्षक के दैनिक कार्य में त्रिकोणमिति अब इतनी आवश्यक नहीं है। पहाड़ की चोटियों पर लकड़ी के त्रिकोणीय टावरों की अब जरूरत नहीं है। सबसे बड़ी इमारतों में से एक ल्यूबन में क्रोशचेंको स्ट्रीट पर स्थित थी। यहां तक कि उनका एक पहाड़ी नाम "पट्रिया" भी था। ठीक है, इन विषयांतरों के लिए पर्याप्त है। आइए तस्वीर देखें। सबसे पहले, हम सेगमेंट एस की लंबाई निर्धारित करते हैं। यह 60 डिग्री का कोण है। एसी से हम बीसी पाते हैं, फिर ऊंचाई बीएच। लेकिन यह हमारे नारंगी पिरामिड की पार्श्व दीवार की ऊंचाई है। यहां से, दीवार के झुकाव के कोण के आधार पर एचवी को गुणा करके पिरामिड की ऊंचाई प्राप्त की जाती है, जिसे ... गणना करने की भी आवश्यकता होती है, लेकिन यह आसान और मानक है।
क्या मैं कह सकता हूँ कि "समस्या हल हो गई". दुर्भाग्य से, मैं इसे तेजी से व्यापक दूरस्थ शिक्षा के साथ जोड़ता हूं। मैं स्क्रीन के सामने बैठता हूं और "तस्वीर से बात करता हूं", और छात्रों को - क्योंकि मैं उन्हें पढ़ाता हूं - मेरे निर्देशों के अनुसार काम करना है। वैसे भी, मैंने इस तरह की कक्षाएं संचालित करने के लिए माइक्रोसॉफ्ट टीम्स, इंस्पेरी और अन्य गैजेट्स सीखे। प्रशिक्षक घर पर था, मैं घर पर था, हर कोई अपनी कॉफी पी रहा था, वह "तस्वीर से बात कर रहा था" और मैं नकल करने की कोशिश कर रहा था।
→ जिस स्कूल में मैं पढ़ाता हूं, वे पहले से ही जानते हैं कि "सामान्यता वापस आने" पर भी व्याख्यान उसी भावना से जारी रहेगा। इस फॉर्म के कई फायदे हैं। यह एक अन्य लेख का विषय है। यह उन लोगों के लिए और भी बेहतर बनाता है जो... सीखना चाहते हैं।
→ दुर्भाग्य से, उनमें से उतने नहीं हैं जितने कि हमें लगता है, शिक्षक। मुझे इस लेख को सम्पादक के पास जमा करने में देर हो गई, लेकिन यदि आप इसे पढ़ रहे हैं, तो यह अच्छी तरह से समाप्त हो गया। अर्थात्, मैं नए छात्रों के व्यवहार से निराश था, जिन्हें मैंने परीक्षा के दौरान बहुत अधिक स्वतंत्रता दी थी। मैं निष्कर्ष निकालूंगा और "पुलिस" के तरीके लौट आएंगे। और मेरे मूड का मतलब था कि पाठ खत्म करने के बजाय, मैं वारसॉ के पास बर्फीले मैदानों में एक लंबी सैर के लिए गया। ठंड थी, मैं ठंडा था...
→ चलो गेंद के साथ प्रतियोगिता में लौटते हैं। प्रश्न 6 का उत्तर हैकसॉ या कुचले हुए पिंग-पोंग बॉल से दिया जा सकता है। सबसे अच्छा मजाक (टास्क 8) वह था जहां गोली डॉक्टर से शिकायत करती है: "मुझे नहीं पता कि मेरे साथ क्या गलत है, लेकिन मैं पूरी तरह से भ्रमित हूं।" एक अच्छा भी था, जिसमें गोली तेज दर्द की शिकायत करती थी और वह व्यास में फट रही थी। गेंद से जुड़ी कहावत (कार्य 7) लेख के शीर्षक में रखी गई है, हम यह भी जानते हैं कि पैरों पर गेंद क्या है (यह पृथ्वी है, है ना?) भालू के रंग के कार्य में लंबी दाढ़ी होती है (बेशक, भालू सफेद था, क्योंकि ऐसा मार्ग केवल ध्रुवीय क्षेत्रों में ही संभव है)।
तोप के गोले (समस्या 11) अब गोलाकार नहीं हैं क्योंकि हम थ्रेडेड बैरल बना सकते हैं, जो प्रक्षेप्य को घूर्णी गति देता है।
प्रश्न 13 दिलचस्प निकला, बाद में मैंने उन्हें छात्रों को भी दिया। उन्होंने गणना करने की कोशिश की जो बहुत समझदार नहीं थे, वे 17 पर तत्व से भयभीत थे। इस बीच, कार्य तुच्छ है। दी गई त्रिज्या वाला एक गोला छोटा होता है, जबकि एक वृत्त बड़ा होता है। यह फिट नहीं होगा। प्रश्न 18 का सही उत्तर था: एक मस्कोवाइट जिसकी राइफल जेसेक सोप्लिका ने उससे छीन ली थी। छात्रों ने गलत उत्तर दिया: जेसेक।
मैं मैदान में वापसी करूंगा, क्योंकि यह मुझे बहुत आकर्षित करता है। और प्रमाण निम्नलिखित "गोलाकार के लिए स्तोत्र" है।
कुलो! तुम मेरे! बड़ा या छोटा
आप अंत के आसपास समान हैं।
मैं आज तुम्हारी सारी सुंदरता गाना चाहता हूं।
मैं समीकरण कर सकता हूँ। लेकिन मैं एक ode लिखूंगा!
कितनी कदर करनी है, वो ही जानेंगे
आपको किसने देखा। लेकिन इसकी सारी सजावट में आपकी सुंदरता
स्लावकोव के ग्रीन स्कूल में पढ़ने वाले इसकी सराहना करेंगे!
आपकी सुंदरता केंद्र से किनारों तक फैली हुई है!
हर कोई आपकी ज्यामिति के प्रति समान रूप से आकर्षित होता है।
मैं एक छोटे बच्चे से हूँ, एक प्रीस्कूलर से,
मैं हमेशा यह समझना चाहता था कि तुम ऐसे क्यों हो।
ये पितृ शब्द कितने दर्दनाक लग रहे थे:
"जब तुम बड़े हो जाओगे तो तुम्हें पता चल जाएगा। आज तुम बहुत छोटे हो!
जब मैं एक लड़का और एक मासूम बच्चा था
चार तिहाई आपका रहस्य जानना चाहते थे
और दिल कितना गहरा था
जब मुझे आपका गुप्त चार मंजिला प्लाजा चाहिए था।
मैंने बहुत से क्षणभंगुर युवाओं को निगल लिया
अपने मूल दौर को विचार में एकीकृत करना,
और जब उस युवक का चेहरा ठूंठ से ढका हुआ था,
मैंने तीन समकोणों वाला एक त्रिभुज देखा
उसके पास। और मैं तुरंत ही विघटित हो गया कि वह कितनी सुंदर है।
सतह ज्यामिति अण्डाकार है।
और कैसे युवक ओसकॉम से प्रभावित हुआ,
जब उसने आखिरकार मुझे अपनी रंब लाइन दिखाई
प्रत्येक मध्याह्न रेखा क्या है?
उसी कटिंग एंगल के साथ ... और यह इस प्रकार है
कि वक्र की लंबाई अनंत तक बढ़ती है,
और यह कि दोनों ध्रुव प्रेम से जुड़े हुए हैं।
बाद में, अपने रीमैन टेंसोर को देख रहे हैं
मैंने सुबह तक खेतों के क्षेत्रफलों की गणना की
और आपकी सतह पर इनायत से एक गोला कहा जाता है,
मुख्य वक्र कभी शून्य नहीं गए।
तो मेरे प्रति सच्चे रहो, अडिग, सजातीय,
हर तरह से उतना ही प्यारा और मजाकिया।
हमेशा गोल भाग ही छोड़ें!
एक से अधिक बार मेरा दिल तुम्हारे लिए तरसेगा।
युवा लोगों को अब भूरे बालों को नहीं जानने दो,
वे गॉस के लिए अज्ञात आपके वक्रों का अध्ययन करते हैं।
