तो किसके लिए, वह है: जहां आप कर सकते हैं कोशिश करें - भाग 2

पिछले एपिसोड में, हमने सुडोकू के बारे में बात की, जो एक अंकगणितीय खेल है जिसमें संख्याओं को मूल रूप से कुछ नियमों के अनुसार विभिन्न आरेखों में व्यवस्थित किया जाता है। सबसे आम संस्करण 9×9 शतरंज की बिसात है, जो अतिरिक्त रूप से नौ 3×3 कोशिकाओं में विभाजित है। 1 से 9 तक की संख्याएँ इस पर सेट की जानी चाहिए ताकि वे या तो ऊर्ध्वाधर पंक्ति में (गणितज्ञ कहते हैं: एक कॉलम में) या क्षैतिज पंक्ति में (गणितज्ञ कहते हैं: एक पंक्ति में) दोहराएँ नहीं - और, इसके अलावा, ताकि वे दोहराते नहीं. किसी भी छोटे वर्ग में दोहराएँ।

Na अंजीर। 1 हम इस पहेली को एक सरल संस्करण में देखते हैं, जो 6 × 6 वर्ग है जो 2 × 3 आयतों में विभाजित है। हम इसमें संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6 डालते हैं - ताकि वे लंबवत रूप से दोहराई न जाएं, न ही क्षैतिज रूप से, न ही प्रत्येक चयनित षट्कोण में।

आइए शीर्ष वर्ग में दिखाए जाने का प्रयास करें। क्या आप इस खेल के लिए निर्धारित नियमों के अनुसार इसे 1 से 6 तक की संख्याओं से भर सकते हैं? यह संभव है - लेकिन अस्पष्ट। आइए देखें - बाईं ओर एक वर्ग बनाएं या दाईं ओर एक वर्ग बनाएं।

हम कह सकते हैं कि यह पहेली का आधार नहीं है। हम आमतौर पर यह मान लेते हैं कि एक पहेली का एक ही समाधान होता है। "बड़े" सुडोकू, 9x9 के लिए अलग-अलग आधार खोजने का कार्य एक कठिन कार्य है और इसे पूरी तरह से हल करने की कोई संभावना नहीं है।

एक अन्य महत्वपूर्ण संबंध विरोधाभासी प्रणाली है। निचला मध्य वर्ग (नीचे दाएं कोने में नंबर 2 वाला) पूरा नहीं किया जा सकता है। क्यों?

मौज-मस्ती और रिट्रीट

हम खेलते हैं. आइए बच्चों के अंतर्ज्ञान का उपयोग करें। उनका मानना ​​है कि मनोरंजन सीखने का परिचय है। चलो अंतरिक्ष में चलते हैं. शामिल अंजीर। 2 हर कोई ग्रिड देखता है चतुर्पाश्वीयगेंदों से, उदाहरण के लिए, पिंग-पोंग गेंदें? स्कूल के ज्यामिति पाठों को याद करें। चित्र के बाईं ओर के रंग बताते हैं कि ब्लॉक को असेंबल करते समय इसे किससे चिपकाया गया है। विशेष रूप से, तीन कोने (लाल) गेंदों को एक में चिपकाया जाएगा। इसलिए, उनकी संख्या समान होनी चाहिए। शायद 9. क्यों? और क्यों नहीं?

ओह, मैंने इसे वाक्यांश नहीं कहा कार्य. यह कुछ इस तरह लगता है: क्या दृश्य ग्रिड में 0 से 9 तक की संख्याओं को अंकित करना संभव है ताकि प्रत्येक चेहरे पर सभी संख्याएँ शामिल हों? कार्य कठिन नहीं है, लेकिन आपको कितनी कल्पना करने की आवश्यकता है! मैं पाठकों का आनंद ख़राब नहीं करूँगा और कोई समाधान भी नहीं दूँगा।

यह बेहद खूबसूरत और कम आंकी गई आकृति है। नियमित अष्टफलक, वर्गाकार आधार वाले दो पिरामिडों (=पिरामिड) से निर्मित। जैसा कि नाम से पता चलता है, अष्टफलक के आठ फलक हैं।

एक अष्टफलक में छह शीर्ष होते हैं। यह विरोधाभासी है घनक्षेत्रजिसके छह फलक और आठ शीर्ष हैं। दोनों गांठों के किनारे समान हैं - बारह प्रत्येक। यह दोहरा ठोस - इसका मतलब यह है कि क्यूब के चेहरों के केंद्रों को जोड़ने से हमें एक ऑक्टाहेड्रॉन मिलता है, और ऑक्टाहेड्रॉन के चेहरों के केंद्र हमें एक क्यूब देंगे। ये दोनों बम्प प्रदर्शन करते हैं ("क्योंकि उन्हें करना ही पड़ता है") यूलर फार्मूला: शीर्षों की संख्या और फलकों की संख्या का योग किनारों की संख्या से 2 अधिक है।

3. समान्तर प्रक्षेपण में एक नियमित अष्टफलक और गोले से बनी एक अष्टफलकीय जाली इस प्रकार कि प्रत्येक किनारे पर चार गोले हों।

टास्क 1। सबसे पहले, गणितीय सूत्र का उपयोग करके पिछले पैराग्राफ का अंतिम वाक्य लिखें। पर अंजीर। 3 आप एक अष्टफलकीय ग्रिड देखते हैं, जो गोले से बना है। प्रत्येक किनारे पर चार गेंदें हैं। प्रत्येक फलक दस गोले का एक त्रिभुज है। समस्या स्वतंत्र रूप से निर्धारित की गई है: क्या ग्रिड के हलकों में 0 से 9 तक की संख्याएं डालना संभव है ताकि एक ठोस शरीर को चिपकाने के बाद, प्रत्येक दीवार में सभी संख्याएं शामिल हों (यह दोहराव के बिना इसका पालन करता है)। पहले की तरह, इस कार्य में सबसे बड़ी कठिनाई यह है कि जाल को एक ठोस पिंड में कैसे बदला जाए। मैं इसे लिखित रूप से नहीं समझा सकता इसलिए इसका समाधान भी मैं यहां नहीं दे रहा हूं।

4. पिंग-पोंग गेंदों से दो इकोसाहेड्रोन। विभिन्न रंग योजना पर ध्यान दें.

पहले ही प्लेटो (और वह XNUMXवीं-XNUMXवीं शताब्दी ईसा पूर्व में रहते थे) सभी नियमित पॉलीहेड्रा को जानते थे: टेट्राहेड्रोन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रोन, द्वादशफ़लक i विंशतिफलक. यह आश्चर्यजनक है कि वह वहां कैसे पहुंचा - न पेंसिल, न कागज, न कलम, न किताबें, न स्मार्टफोन, न इंटरनेट! मैं यहां द्वादशफलक के बारे में बात नहीं करूंगा। लेकिन आइकोसाहेड्रल सुडोकू दिलचस्प है। हम इस गांठ को देखते हैं चित्रण 4और इसका नेटवर्क आरईएस। 5.

5. इकोसाहेड्रोन का नियमित जाल।

पहले की तरह, यह उस अर्थ में एक ग्रिड नहीं है जिसमें हम स्कूल से (?!) याद करते हैं, बल्कि गेंदों (गेंदों) से त्रिकोणों को चिपकाने का एक तरीका है।

टास्क 2। ऐसे आइकोसाहेड्रोन को बनाने में कितनी गेंदें लगती हैं? क्या निम्नलिखित तर्क सही है: चूँकि प्रत्येक फलक एक त्रिभुज है, यदि 20 फलक होने हैं, तो 60 गोले की आवश्यकता होगी?

6. गोले से एक इकोसाहेड्रोन का ग्रिड। उदाहरण के लिए, प्रत्येक वृत्त एक पिंग-पोंग बॉल है, लेकिन एक ही रंग से चिह्नित वृत्तों पर वृत्तों का निर्माण एक में विलीन हो जाता है। तो हमारे पास बारह गोले हैं (= बारह शीर्ष: लाल, नीला, बैंगनी, नीला और आठ पीले)।

यह देखना आसान है कि इकोसाहेड्रोन में तीन संख्याएँ पर्याप्त नहीं हैं। अधिक सटीक रूप से: संख्याओं 1, 2, 3 के साथ शीर्षों की गणना करना असंभव है ताकि प्रत्येक (त्रिकोणीय) फलक पर ये तीन संख्याएँ हों और कोई पुनरावृत्ति न हो। क्या यह चार संख्याओं के साथ संभव है? जी हां संभव है! आइए देखें चावल। 6 और 7.

7. यहां बताया गया है कि इकोसाहेड्रोन बनाने वाले गोले को कैसे क्रमांकित किया जाए ताकि प्रत्येक चेहरे पर 1, 2, 3, 4 के अलावा अन्य संख्याएं हों। अंजीर में कौन सा पिंड है। 4 इस तरह रंगा हुआ है?

टास्क 3। चार में से तीन संख्याओं को चार तरीकों से चुना जा सकता है: 123, 124, 134, 234। अंजीर में इकोसाहेड्रोन में ऐसे पांच त्रिकोण खोजें। 7 (और साथ ही से चित्र 4).

4 असाइनमेंट (बहुत अच्छी स्थानिक कल्पना की आवश्यकता है)। इकोसाहेड्रोन में बारह शीर्ष हैं, जिसका अर्थ है कि इसे बारह गेंदों से एक साथ चिपकाया जा सकता है (अंजीर। 7). ध्यान दें कि तीन शीर्षों (=गेंदों) पर 1, तीन पर 2, इत्यादि अंकित हैं। इस प्रकार, एक ही रंग की गेंदें एक त्रिभुज बनाती हैं। यह त्रिभुज क्या है? शायद समबाहु? फिर देखो चित्र 4.

दादा/दादी और पोते/पोती के लिए अगला काम। अंततः माता-पिता भी अपना हाथ आज़मा सकते हैं, लेकिन उन्हें धैर्य और समय की आवश्यकता है।

टास्क 5। बारह (अधिमानतः 24) पिंग-पोंग गेंदें, पेंट के कुछ चार रंग, एक ब्रश और सही गोंद खरीदें - मैं सुपरग्लू या ड्रॉपलेट जैसी तेज़ गेंदों की अनुशंसा नहीं करता क्योंकि वे बहुत जल्दी सूख जाते हैं और बच्चों के लिए खतरनाक होते हैं। इकोसाहेड्रोन पर गोंद। अपनी पोती को एक टी-शर्ट पहनाएं जिसे तुरंत बाद धोया जाएगा (या फेंक दिया जाएगा)। मेज को पन्नी से ढक दें (अधिमानतः अखबारों से)। इकोसाहेड्रोन को सावधानी से चार रंगों 1, 2, 3, 4 से रंगें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। अंजीर। 7. आप क्रम बदल सकते हैं - पहले गुब्बारों को रंग दें और फिर उन्हें चिपका दें। उसी समय, छोटे हलकों को बिना रंगे छोड़ दिया जाना चाहिए ताकि पेंट पेंट से चिपक न जाए।

अब सबसे कठिन कार्य (अधिक सटीक रूप से, उनका संपूर्ण क्रम)।

6 असाइनमेंट (अधिक विशेष रूप से, सामान्य विषय)। इकोसाहेड्रोन को टेट्राहेड्रोन और ऑक्टाहेड्रोन के रूप में प्लॉट करें चावल। 2 और 3 इसका मतलब है कि प्रत्येक किनारे पर चार गेंदें होनी चाहिए। इस प्रकार में, कार्य समय लेने वाला और महंगा दोनों है। आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि आपको कितनी गेंदों की आवश्यकता है। प्रत्येक चेहरे में दस गोले होते हैं, इसलिए आइकोसैड्रॉन को दो सौ की आवश्यकता होती है? नहीं! हमें याद रखना चाहिए कि कई गेंदें साझा की जाती हैं। एक आइकोसैहेड्रॉन के कितने किनारे होते हैं? इसकी श्रमसाध्य गणना की जा सकती है, लेकिन यूलर सूत्र किस लिए है?

w–k+s=2

जहाँ w, k, s क्रमशः शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या हैं। हमें याद है कि w = 12, s = 20, जिसका अर्थ है k = 30। हमारे पास इकोसाहेड्रोन के 30 किनारे हैं। आप इसे अलग ढंग से कर सकते हैं, क्योंकि यदि 20 त्रिभुज हैं, तो उनमें केवल 60 किनारे हैं, लेकिन उनमें से दो उभयनिष्ठ हैं।

आइए गणना करें कि आपको कितनी गेंदों की आवश्यकता है। प्रत्येक त्रिभुज में केवल एक आंतरिक गेंद होती है - न तो हमारे शरीर के शीर्ष पर, न ही किनारे पर। इस प्रकार, हमारे पास ऐसी कुल 20 गेंदें हैं। 12 शिखर हैं. प्रत्येक किनारे पर दो गैर-शीर्ष गेंदें होती हैं (वे किनारे के अंदर होती हैं, लेकिन चेहरे के अंदर नहीं)। चूँकि 30 किनारे हैं, 60 मार्बल हैं, लेकिन उनमें से दो साझा हैं, जिसका अर्थ है कि आपको केवल 30 मार्बल्स की आवश्यकता है, इसलिए आपको कुल 20 + 12 + 30 = 62 मार्बल्स की आवश्यकता है। गेंदों को कम से कम 50 पैसे (आमतौर पर अधिक महंगा) में खरीदा जा सकता है। गोंद का खर्च जोड़ दें तो निकलेगा...बहुत। अच्छी बॉन्डिंग के लिए कई घंटों की मेहनत की आवश्यकता होती है। साथ में वे आरामदायक शगल के लिए उपयुक्त हैं - उदाहरण के लिए, टीवी देखने के बजाय मैं उन्हें सलाह देता हूं।

पाचन क्रिया १। आंद्रेज वाजदा की फ़िल्म सीरीज़ इयर्स, डेज़ में, दो आदमी शतरंज खेलते हैं "क्योंकि उन्हें किसी तरह रात के खाने तक का समय गुजारना होता है।" यह गैलिशियन क्राको में होता है। वास्तव में: समाचार पत्र पहले ही पढ़े जा चुके हैं (तब उनमें 4 पृष्ठ होते थे), टीवी और टेलीफोन का अभी तक आविष्कार नहीं हुआ है, कोई फुटबॉल मैच नहीं हैं। पोखरों में बोरियत. ऐसे में लोग अपने लिए मनोरंजन लेकर आए। रिमोट कंट्रोल दबाने के बाद आज वे हमारे पास हैं...

पाचन क्रिया १। गणित शिक्षक संघ की 2019 की बैठक में, एक स्पेनिश प्रोफेसर ने एक कंप्यूटर प्रोग्राम का प्रदर्शन किया जो ठोस दीवारों को किसी भी रंग में रंग सकता है। यह थोड़ा डरावना था, क्योंकि उन्होंने केवल हाथ खींचे थे, शरीर को लगभग काट दिया था। मैंने मन में सोचा: ऐसी "छायांकन" से आपको कितना आनंद मिल सकता है? हर चीज़ में दो मिनट लगते हैं, और चौथे तक हमें कुछ भी याद नहीं रहता। इस बीच, पुराने जमाने की "सुई का काम" शांत और शिक्षित करता है। जिसे विश्वास नहीं है, उसे प्रयास करने दीजिए.

आइए XNUMXवीं शताब्दी और हमारी वास्तविकताओं पर वापस जाएं। यदि हम गेंदों को चिपकाने में लगने वाले समय के रूप में छूट नहीं चाहते हैं, तो हम कम से कम एक इकोसाहेड्रोन का एक ग्रिड बनाएंगे, जिसके किनारों पर चार गेंदें होंगी। इसे कैसे करना है? इसे ठीक से काटें आरईएस। 6. चौकस पाठक पहले से ही समस्या का अनुमान लगा लेता है:

टास्क 7। क्या गेंदों को 0 से 9 तक की संख्याओं के साथ गिनना संभव है ताकि ये सभी संख्याएँ ऐसे इकोसाहेड्रोन के प्रत्येक चेहरे पर दिखाई दें?

हमें किसलिए भुगतान किया जा रहा है?

आज हम अक्सर खुद से हमारी गतिविधियों के उद्देश्य के बारे में सवाल पूछते हैं, और "ग्रे करदाता" पूछेंगे कि उन्हें ऐसी पहेलियों को हल करने के लिए गणितज्ञों को भुगतान क्यों करना चाहिए?

उत्तर बहुत सरल है. ऐसी "पहेलियाँ", अपने आप में दिलचस्प, "किसी अधिक गंभीर चीज़ का एक टुकड़ा" हैं। आख़िरकार, सैन्य परेड एक कठिन सेवा का केवल एक बाहरी, शानदार हिस्सा है। मैं सिर्फ एक उदाहरण दूंगा, लेकिन मैं एक अजीब लेकिन अंतरराष्ट्रीय स्तर पर मान्यता प्राप्त गणितीय विषय से शुरुआत करूंगा। 1852 में, एक अंग्रेजी छात्र ने अपने प्रोफेसर से पूछा कि क्या मानचित्र को चार रंगों से रंगना संभव है ताकि पड़ोसी देशों को हमेशा अलग-अलग रंगों में दिखाया जा सके? मैं यह जोड़ना चाहूँगा कि हम उन्हें "पड़ोसी" नहीं मानते हैं जो केवल एक ही बिंदु पर मिलते हैं, जैसे कि अमेरिका में व्योमिंग और यूटा राज्य। प्रोफेसर को पता नहीं था... और समस्या सौ वर्षों से अधिक समय से समाधान की प्रतीक्षा कर रही थी।

8. RECO ब्लॉकों से इकोसाहेड्रोन। फ्लैश रिफ्लेक्टर दिखाते हैं कि इकोसाहेड्रोन में त्रिभुज और पेंटागन के साथ क्या समानता है। प्रत्येक शीर्ष पर पाँच त्रिभुज मिलते हैं।

यह अप्रत्याशित तरीके से हुआ. 1976 में, अमेरिकी गणितज्ञों के एक समूह ने इस समस्या को हल करने के लिए एक कार्यक्रम लिखा (और उन्होंने निर्णय लिया: हाँ, चार रंग हमेशा पर्याप्त होंगे)। यह "गणितीय मशीन" की सहायता से प्राप्त गणितीय तथ्य का पहला प्रमाण था - जैसा कि आधी सदी पहले कंप्यूटर को कहा जाता था (और उससे भी पहले: "इलेक्ट्रॉनिक मस्तिष्क")।

यहाँ एक विशेष रूप से दिखाया गया "यूरोप का मानचित्र" है (अंजीर। 9). जिन देशों की सीमा समान होती है वे देश आपस में जुड़े होते हैं। मानचित्र को रंगना इस ग्राफ़ (जिसे ग्राफ़ कहा जाता है) के वृत्तों को रंगने के समान है ताकि कोई भी जुड़ा हुआ वृत्त एक ही रंग का न हो। लिकटेंस्टीन, बेल्जियम, फ्रांस और जर्मनी पर एक नज़र डालने से पता चलता है कि तीन रंग पर्याप्त नहीं हैं। पाठक चाहें तो इसे चार रंगों से रंग दें।

9. यूरोप में किसकी सीमा किसके साथ लगती है?

ठीक है, हाँ, लेकिन क्या यह करदाताओं के पैसे के लायक है? तो आइए उसी ग्राफ़ को थोड़ा अलग ढंग से देखें। भूल जाओ कि राज्य और सीमाएँ हैं। मान लें कि वृत्त एक बिंदु से दूसरे बिंदु (उदाहरण के लिए, पी से ईएसटी) तक भेजे जाने वाले सूचना पैकेटों का प्रतीक हैं, और खंड संभावित कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिनमें से प्रत्येक की अपनी बैंडविड्थ है। यथाशीघ्र भेजें?

सबसे पहले, आइए गणितीय दृष्टिकोण से एक बहुत ही सरल, लेकिन बहुत दिलचस्प स्थिति को देखें। हमें समान बैंडविड्थ, मान लीजिए 1 के साथ कनेक्शन के नेटवर्क का उपयोग करके बिंदु S (= प्रारंभ के रूप में) से बिंदु M (= समाप्त) तक कुछ भेजना है। हम इसे इसमें देखते हैं अंजीर। 10.

10. स्टैट्स्यिका ज़ड्रोज से मेगापोलिस तक कनेक्शन का नेटवर्क।

आइए कल्पना करें कि लगभग 89 बिट जानकारी को S से M तक भेजने की आवश्यकता है। इन शब्दों के लेखक को ट्रेनों के बारे में समस्याएं पसंद हैं, इसलिए वह कल्पना करता है कि वह स्टेसी ज़ड्रोज में प्रबंधक है, जहां से उसे 144 वैगन भेजना है। मेट्रोपोलिस स्टेशन तक. बिल्कुल 144 क्यों? क्योंकि, जैसा कि हम देखेंगे, इसका उपयोग पूरे नेटवर्क के थ्रूपुट की गणना करने के लिए किया जाएगा। प्रत्येक लॉट में क्षमता 1 है, अर्थात। प्रति इकाई समय में एक कार गुजर सकती है (एक सूचना बिट, संभवतः गीगाबाइट भी)।

आइए सुनिश्चित करें कि सभी कारें एम में एक ही समय पर मिलती हैं। हर कोई 89 इकाइयों के समय में वहां पहुंचता है। यदि मेरे पास भेजने के लिए एस से एम तक कोई बहुत महत्वपूर्ण सूचना पैकेट है, तो मैं इसे 144 इकाइयों के समूहों में विभाजित करता हूं और ऊपर बताए अनुसार आगे बढ़ाता हूं। गणित गारंटी देता है कि यह सबसे तेज़ होगा। मुझे कैसे पता चला कि आपको 89 की आवश्यकता है? मैंने वास्तव में अनुमान लगाया था, लेकिन अगर मैंने अनुमान नहीं लगाया, तो मुझे इसका पता लगाना होगा किरचॉफ समीकरण (क्या किसी को याद है? - ये करंट के प्रवाह का वर्णन करने वाले समीकरण हैं)। नेटवर्क बैंडविड्थ 184/89 है, जो लगभग 1,62 के बराबर है।

आनंद के बारे में

वैसे, मुझे नंबर 144 पसंद है। मुझे वारसॉ में कैसल स्क्वायर के लिए इस नंबर के साथ बस में यात्रा करना पसंद था - जब इसके बगल में कोई बहाल रॉयल कैसल नहीं था। शायद युवा पाठक जानते हैं कि एक दर्जन क्या होते हैं। वह 12 प्रतियाँ हैं, लेकिन केवल पुराने पाठकों को ही वह दर्जन भर याद हैं, यानी। 122=144, यह तथाकथित लॉट है। और जो कोई भी गणित को स्कूली पाठ्यक्रम से थोड़ा अधिक जानता है वह इसे तुरंत समझ जाएगा अंजीर। 10 हमारे पास फाइबोनैचि संख्याएं हैं और नेटवर्क बैंडविड्थ "गोल्डन नंबर" के करीब है

फाइबोनैचि अनुक्रम में, 144 ही एकमात्र संख्या है जो एक पूर्ण वर्ग है। एक सौ चवालीस भी एक "आनंददायक संख्या" है। ऐसा है एक भारतीय शौकिया गणितज्ञ दत्तात्रेय रामचन्द्र कापरेकर 1955 में, उन्होंने उन संख्याओं के नाम बताए जो उनके घटक अंकों के योग से विभाज्य हैं:

अगर उसे यह पता होता एडम मिकीविक्ज़, उन्होंने निश्चित रूप से डेज़ाडी में नहीं लिखा होगा: “एक अजीब माँ से; उसका खून उसके पुराने नायक हैं / और उसका नाम चौवालीस है, केवल अधिक सुंदर: और उसका नाम एक सौ चौवालीस है।

मनोरंजन को गंभीरता से लें

मुझे आशा है कि मैंने पाठकों को आश्वस्त कर लिया है कि सुडोकू पहेलियाँ प्रश्नों का मज़ेदार पक्ष हैं जिन्हें निश्चित रूप से गंभीरता से लिया जाना चाहिए। मैं इस विषय को और अधिक विकसित नहीं कर सकता। ओह, दिए गए चित्र से पूर्ण नेटवर्क बैंडविड्थ गणना अंजीर। 9 समीकरणों की एक प्रणाली लिखने में दो या अधिक घंटे लगेंगे - शायद कंप्यूटर के काम के दस सेकंड (!) भी।