कुछ नहीं के बारे में लेख

एक बच्चे के रूप में, मैं "एक कील पर सूप" के बारे में, शायद कई पाठकों को ज्ञात कहानी से रोमांचित था। मेरी दादी (जन्म की XNUMX वीं शताब्दी) ने मुझे इस संस्करण में बताया "कॉसैक आया और पानी मांगा, क्योंकि उसके पास एक कील है और वह उस पर सूप पकाएगा।" जिज्ञासु परिचारिका ने उसे पानी का एक बर्तन दिया ... और हम जानते हैं कि आगे क्या हुआ: "सूप नमकीन, दैत्य, दादी, नमक होना चाहिए", फिर उसने मांस को "स्वाद में सुधार करने के लिए" और इसी तरह धोया। अंत में, उसने "उबला हुआ" नाखून फेंक दिया।

तो यह लेख अंतरिक्ष के खालीपन के बारे में माना जाता था - और यह 67 नवंबर 12 को धूमकेतु 2014P / Churyumov-Gerasimenko पर एक यूरोपीय उपकरण के उतरने के बारे में है। मैं अभी भी एक गणितज्ञ हूँ। साथ कैसा है पसंदс शून्य अंक शास्त्र?

कुछ भी अस्तित्व में कैसे है?

यह नहीं कहा जा सकता कि कुछ भी अस्तित्व में नहीं है। यह कम से कम एक दार्शनिक, गणितीय, धार्मिक और पूरी तरह से बोलचाल की अवधारणा के रूप में मौजूद है। शून्य एक सामान्य संख्या है, थर्मामीटर पर शून्य डिग्री भी एक तापमान है, और बैंक में शून्य संतुलन एक अप्रिय लेकिन सामान्य घटना है। ध्यान दें कि कालक्रम में कोई शून्य वर्ष नहीं है, और ऐसा इसलिए है क्योंकि शून्य को गणित में मध्य युग के अंत में ही पेश किया गया था, भिक्षु डायोनिसियस (XNUMXवीं शताब्दी) द्वारा प्रस्तावित कालक्रम के बाद।

अजीब बात है, हम वास्तव में इस शून्य के बिना और इसलिए नकारात्मक संख्याओं के बिना भी काम कर सकते हैं। तर्क पाठ्यपुस्तकों में से एक में मुझे एक अभ्यास मिला: आप मछली की अनुपस्थिति की कल्पना कैसे करते हैं, चित्र बनाएं या कहें। अद्भुत, है ना? कोई भी मछली खींच सकता है, लेकिन मछली का अभाव?

अब संक्षेप में बुनियादी गणित पाठ्यक्रम. क्रॉस-आउट सर्कल के साथ चिह्नित खाली सेट को अस्तित्व का विशेषाधिकार देना संख्याओं के सेट में शून्य जोड़ने के समान एक आवश्यक प्रक्रिया है। खाली सेट एकमात्र ऐसा सेट है जिसमें कोई तत्व नहीं है। ऐसे संग्रह:

लेकिन दो अलग-अलग खाली सेट नहीं हैं। खाली सेट हर दूसरे सेट में शामिल है:

दरअसल, गणितीय तर्क के नियम कहते हैं कि एक सेट A, सेट B में समाहित होता है यदि और केवल यदि वाक्य:

इसमें शामिल है

रिक्त समुच्चय ∅ के मामले में, प्रस्ताव हमेशा गलत होता है, और इस प्रकार, तर्क के नियमों के अनुसार, निहितार्थ आम तौर पर सत्य होता है। सब कुछ एक झूठ से उपजा है ("यदि आप अगली कक्षा में जाते हैं तो मैं कैक्टस उगाऊंगा ...")। इसलिए, चूंकि खाली सेट प्रत्येक दूसरे में निहित है, तो यदि वे दो अलग-अलग होते, तो उनमें से प्रत्येक दूसरे में समाहित होता। हालाँकि, यदि दो सेट एक दूसरे के भीतर समाहित हैं, तो वे समान हैं। इसलिए: केवल एक खाली सेट है!

एक खाली सेट के अस्तित्व का अभिधारणा गणित के किसी भी नियम का खंडन नहीं करता है, तो इसे अभ्यास में क्यों न लाया जाए? दार्शनिक सिद्धांत कहा जाता हैओकाम का उस्तरा"अनावश्यक अवधारणाओं को बाहर करने का आदेश, लेकिन बिल्कुल सही खाली सेट की अवधारणा गणित में बहुत उपयोगी है. कृपया ध्यान दें कि खाली सेट का आयाम -1 (शून्य से एक) है - शून्य-आयामी तत्व बिंदु और उनके विरल सिस्टम हैं, एक-आयामी तत्व रेखाएं हैं, और हमने अध्याय में फ्रैक्टल आयाम वाले बहुत जटिल गणितीय तत्वों के बारे में बात की है भग्न।

यह दिलचस्प है कि गणित की पूरी इमारत: संख्याएँ, संख्याएँ, कार्य, संकारक, अभिन्न, अवकलन, समीकरण ... एक अवधारणा से प्राप्त की जा सकती हैं - एक खाली सेट! यह मान लेना पर्याप्त है कि एक खाली सेट है, नव निर्मित तत्वों को सक्षम होने के लिए सेट में जोड़ा जा सकता है सारा गणित बनाओ. इस प्रकार जर्मन तर्कशास्त्री गोटलॉब फ्रेगे ने प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण किया। नल समुच्चयों का एक वर्ग है जिसके तत्व रिक्त समुच्चय के तत्वों के साथ परस्पर मेल खाते हैं। एक समुच्चय का एक वर्ग है जिसके तत्व समुच्चय के उन तत्वों के साथ परस्पर मेल खाते हैं जिनका एकमात्र अवयव खाली समुच्चय है। दो सेटों का वह वर्ग है जिसके तत्व सेट के तत्वों के साथ एक-से-एक होते हैं जिसमें खाली सेट होता है और वह सेट जिसका एकमात्र तत्व खाली सेट होता है... इत्यादि। पहली नज़र में यह कुछ बहुत जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में ऐसा नहीं है।

नीला मेरे ऊपर फैल गया,

हीदर की गंध और पुदीने की गंध...

वोज्शिएक मलिनार्स्की, "गर्ल फ्रॉम द हार्वेस्ट"

कल्पना करना कठिन है

किसी भी चीज़ की कल्पना करना कठिन नहीं है. स्टैनिस्लाव लेम की कहानी "हाउ द वर्ल्ड वाज़ सेव्ड" में, डिजाइनर ट्ररल ने एक ऐसी मशीन बनाई जो एक अक्षर से शुरू होने वाले सभी काम करेगी। जब क्लैपौसियस ने इसे बनाने का आदेश दिया एनआईसी, मशीन ने दुनिया से विभिन्न वस्तुओं को हटाना शुरू किया - सब कुछ हटाने के अंतिम लक्ष्य के साथ। जब तक भयभीत क्लापाउशियस ने कार रोकी, गैली, यस, हैंगिंग, हैक्स, तुकबंदी, बीटर्स, पाउफ्स, ग्राइंडर, कटार, फिलिड्रोन और फ्रॉस्ट दुनिया से हमेशा के लिए गायब हो गए थे। और वास्तव में, वे हमेशा के लिए गायब हो गए ...

जोज़ेफ़ टिशनर ने अपने हिस्ट्री ऑफ़ माउंटेन फिलॉसफी में शून्यता के बारे में बहुत अच्छा लिखा है। अपनी पिछली छुट्टी के दौरान, मैंने इस शून्यता का अनुभव करने का फैसला किया, अर्थात्, मैं पोधले में नोवी टार्ग और जब्लोन्का के बीच पीट बोग्स में गया। इस क्षेत्र को पुस्ताचिया भी कहा जाता है। तुम जाओ, तुम जाओ, लेकिन सड़क कम नहीं होती - बेशक, हमारे मामूली, पोलिश पैमाने पर। एक दिन मैंने कनाडा के सस्केचेवान प्रांत में एक बस ली। बाहर मक्के का खेत था। मैंने आधे घंटे के लिए झपकी ली। जब मैं उठा, हम उसी मकई के खेत से गाड़ी चला रहे थे... लेकिन रुकिए, क्या यह खाली है? एक अर्थ में, परिवर्तन की अनुपस्थिति मात्र शून्यता है।

हम अपने चारों ओर विभिन्न वस्तुओं की निरंतर उपस्थिति के आदी हैं कुछ तुम आँखें बंद करके भी बच नहीं सकते। डेसकार्टेस ने कहा, "मुझे लगता है, इसलिए मेरा अस्तित्व है।" यदि मैंने पहले से ही कुछ सोचा है, तो इसका मतलब है कि मैं अस्तित्व में हूं, और इसका मतलब है कि दुनिया में कम से कम कुछ है (अर्थात् मैं)। क्या मैंने जो सोचा था उसका अस्तित्व है? इस पर चर्चा की जा सकती है, लेकिन आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी में हाइजेनबर्ग सिद्धांत ज्ञात है: प्रत्येक अवलोकन प्रेक्षित वस्तु की स्थिति को बिगाड़ देता है। जब तक हम इसे देख नहीं लेते एनआईसी इसका अस्तित्व नहीं है, और जब हम देखना शुरू करते हैं, तो वस्तु अस्तित्व में नहीं रहती है पसंद और यह बन जाता है कुछ. इससे बेहूदगी पैदा होती है मानवशास्त्रीय सिद्धांत: यह पूछने का कोई मतलब नहीं है कि यदि हम न होते तो दुनिया कैसी होती। संसार वैसा ही है जैसा हमें दिखता है। शायद अन्य प्राणी पृथ्वी को कोणीय देखेंगे?

एक पॉज़िट्रॉन (ऐसा सकारात्मक इलेक्ट्रॉन) अंतरिक्ष में एक छेद है, "कोई इलेक्ट्रॉन नहीं है।" सर्वनाश की प्रक्रिया में, इलेक्ट्रॉन इस छेद में कूद जाता है और "कुछ नहीं होता" - कोई छेद नहीं है, कोई इलेक्ट्रॉन नहीं है। मैं स्विस पनीर में छेद के बारे में बहुत सारे चुटकुले छोड़ दूंगा ("जितना अधिक मेरे पास है, उतना ही कम ...")। प्रसिद्ध संगीतकार जॉन केज ने पहले ही अपने विचारों का इस हद तक उपयोग कर लिया था कि उन्होंने (?) संगीत का एक टुकड़ा (?) बनाया जिसमें ऑर्केस्ट्रा 4 मिनट 33 सेकंड के लिए गतिहीन बैठता है और निश्चित रूप से कुछ भी नहीं बजाता है। "चार मिनट और तैंतीस सेकंड दो सौ तिहत्तर, 273, और शून्य से 273 डिग्री पूर्ण शून्य है, जिस पर सभी आंदोलन बंद हो जाते हैं," संगीतकार (?) ने समझाया।

फ़िल्टर करके शून्य, कुछ नहीं, निक, निक, कुछ नहीं, शून्य!

आंद्रेज वाजदा की फिल्म ओवर द इयर्स में जेरज़ी,

दिन बीतते जाते हैं"

सबके बारे में क्या ख्याल है?

कई लोगों (साधारण अनाज उत्पादकों से लेकर प्रमुख दार्शनिकों तक) ने अस्तित्व की घटना के बारे में सोचा है। गणित में स्थिति सरल है: कुछ ऐसा है जो सुसंगत है।

वह किनारे के खेतों में गायब हो गई

कॉर्नफ्लावर, खरपतवार और शेर के मुँह में...

ख़ैर, ये बातें होती रहती हैं

विशेष रूप से फसल में, और फसल के दौरान

विशेष रूप से…

वोज्शिएक मलिनार्स्की, "गर्ल फ्रॉम द हार्वेस्ट"

सब कुछ शून्य से दूसरे चरम पर है। गणित में यह ज्ञात है हर चीज़ का अस्तित्व नहीं है. यह कल्पना करना बिल्कुल गलत है कि उनका अस्तित्व विवाद से मुक्त होगा। इसे पुराने विरोधाभास के उदाहरण से समझा जा सकता है: "यदि ईश्वर सर्वशक्तिमान है, तो उठाने के लिए पत्थर बनाएं?" यह गणितीय प्रमाण कि सभी समुच्चयों का एक समुच्चय नहीं हो सकता, प्रमेय पर आधारित है गायक-बेरस्टीन, जो कहता है कि "एक अनंत संख्या" (गणितीय: बुनियादी संख्या) किसी दिए गए समुच्चय के सभी सदस्यों का समुच्चय इस समुच्चय के तत्वों की संख्या से अधिक है।

यदि किसी सेट में तत्व हैं, तो इसमें 2 हैंⁿ उपसमुच्चय; उदाहरण के लिए, जब = 3 और सेट में {1, 2, 3} होते हैं, तो निम्नलिखित उपसमुच्चय मौजूद होते हैं:

• तीन दो-तत्व सेट: उनमें से प्रत्येक में 1, 2, 3, संख्याओं में से एक गायब है
• एक खाली सेट,
• तीन सिंगलटन सेट,
• पूरा सेट {1,2,3}

- केवल आठ, 2³और उन पाठकों के लिए जिन्होंने हाल ही में स्कूल से स्नातक किया है, मैं आपको संबंधित सूत्र की याद दिलाना चाहूंगा:

इस सूत्र में प्रत्येक न्यूटोनियन प्रतीक -तत्व सेट में के-तत्व सेट की संख्या निर्धारित करता है।

गणित में, द्विपद गुणांक कई अन्य स्थानों पर दिखाई देते हैं, जैसे दिलचस्प संक्षिप्त गुणन सूत्रों में:

और उनके सटीक रूप से जो बात अधिक दिलचस्प है वह है उनकी परस्पर निर्भरता।

यह समझना कठिन है कि - जहां तक ​​तर्क और गणित का संबंध है - क्या है, और क्या नहीं है। गैर-अस्तित्व के लिए तर्क विनी द पूह के समान ही, जिन्होंने विनम्रतापूर्वक अपने अतिथि टाइगर से पूछा, क्या बाघों को शहद, एकोर्न और थीस्ल पसंद है? "बाघों को सब कुछ पसंद है," कुबस ने उत्तर दिया कि अगर उन्हें सब कुछ पसंद है, तो वे भी फर्श पर सोना पसंद करते हैं, इसलिए, वह, विन्नी, बिस्तर पर लौट सकते हैं।

एक और तर्क रसेल का विरोधाभास. शहर में एक नाई है जो उन सभी पुरुषों की हजामत बनाता है जो खुद हजामत नहीं बनाते। क्या वह खुद शेव करता है? दोनों उत्तर बताई गई शर्त का खंडन करते हैं कि वे उन्हें मारते हैं, और केवल उन्हें, जो स्वयं ऐसा नहीं करते हैं।

सभी संग्रहों का संग्रह ढूँढ़ रहा हूँ

अंत में, मैं एक चतुर, लेकिन सबसे गणितीय प्रमाण दूंगा कि सभी सेटों का कोई सेट नहीं है (इसके साथ भ्रमित न हों)।

सबसे पहले, हम दिखाएंगे कि किसी भी गैर-रिक्त सेट एक्स के लिए, एक पारस्परिक रूप से अद्वितीय फ़ंक्शन ढूंढना असंभव है जो इस सेट को इसके सबसेट पी (एक्स) के सेट पर मैप करता है। तो चलिए मान लेते हैं कि यह फ़ंक्शन मौजूद है। आइए इसे पारंपरिक एफ द्वारा निरूपित करें। x से f क्या है? यह एक संग्रह है. क्या xf, x से संबंधित है? यह अज्ञात है. या तो आपको करना होगा या नहीं। लेकिन कुछ x के लिए यह अभी भी ऐसा होना चाहिए कि यह x के f से संबंधित न हो। खैर, फिर सभी x के समुच्चय पर विचार करें जिसके लिए x, f(x) से संबंधित नहीं है। इसे (इस सेट को) ए से निरूपित करें। यह सेट एक्स के कुछ तत्व ए से मेल खाता है। क्या ए ए से संबंधित है? आइए मान लें कि आपको ऐसा करना चाहिए। लेकिन A एक ऐसा समुच्चय है जिसमें केवल x के वे अवयव हैं जो f(x) से संबंधित नहीं हैं... ठीक है, शायद यह A से संबंधित नहीं है? लेकिन सेट ए में इस संपत्ति के सभी तत्व शामिल हैं, और इसलिए ए भी प्रमाण का अंत है।

इसलिए, यदि सभी समुच्चयों का एक समुच्चय होता, तो वह स्वयं का एक उपसमुच्चय होता, जो कि पिछले तर्क के अनुसार असंभव है।

उह, मुझे नहीं लगता कि बहुत से पाठकों ने इस साक्ष्य को पढ़ा है। बल्कि, मैं इसे यह दिखाने के लिए ला रहा हूं कि उन्नीसवीं सदी के अंत में गणितज्ञों को क्या करना था जब उन्होंने अपने स्वयं के विज्ञान की नींव का अध्ययन करना शुरू किया। यह पता चला कि समस्याएँ वहाँ हैं जहाँ किसी को उनसे उम्मीद नहीं थी। इसके अलावा, सभी गणित के लिए नींव के बारे में ये तर्क अप्रासंगिक हैं: तहखानों में चाहे कुछ भी हो जाए - गणित की पूरी इमारत एक ठोस चट्टान पर खड़ी है.

इस बीच, शीर्ष पर...

आइए स्टैनिस्लाव लेम की कहानियों से एक और सीख पर ध्यान दें। अपनी एक यात्रा में, इयोन टीची एक ऐसे ग्रह पर पहुँचे जिसके निवासी, लंबे विकास के बाद, अंततः विकास के उच्चतम चरण पर पहुँच गए थे। वे सभी ताकतवर हैं, वे कुछ भी कर सकते हैं, उनकी उंगलियों पर सब कुछ है... और वे कुछ नहीं करते। वे रेत पर लेट जाते हैं और उसे अपनी उंगलियों के बीच डालते हैं। "अगर सब कुछ संभव है, तो यह इसके लायक नहीं है," वे हैरान यिजोंग को समझाते हैं। हमारी यूरोपीय सभ्यता के साथ ऐसा न हो...