सिफर और जासूस

आज के मैथ कॉर्नर में, मैं एक विषय पर एक नज़र डालने जा रहा हूँ जिस पर मैंने बच्चों के लिए राष्ट्रीय बाल फाउंडेशन के वार्षिक विज्ञान शिविर में चर्चा की थी। फाउंडेशन वैज्ञानिक रुचि वाले बच्चों और युवाओं की तलाश कर रहा है। आपको अत्यधिक प्रतिभाशाली होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन आपके पास "वैज्ञानिक लकीर" होने की आवश्यकता है। बहुत अच्छे स्कूल ग्रेड की आवश्यकता नहीं है। इसे आजमाएं, आपको यह पसंद आ सकता है। यदि आप एक वरिष्ठ प्राथमिक विद्यालय या हाई स्कूल के छात्र हैं, तो आवेदन करें। आमतौर पर माता-पिता या स्कूल रिपोर्ट करते हैं, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता। फाउंडेशन की वेबसाइट खोजें और पता करें।

स्कूल में "कोडिंग" के बारे में अधिक से अधिक चर्चा होती है, जो पहले "प्रोग्रामिंग" के रूप में जानी जाने वाली गतिविधि का जिक्र करती है। सैद्धांतिक शिक्षकों के लिए यह एक सामान्य प्रक्रिया है। वे पुराने तरीकों को खोदते हैं, उन्हें एक नया नाम देते हैं, और "प्रगति" अपने आप होती है। ऐसे कई क्षेत्र हैं जहां ऐसी चक्रीय घटना होती है।

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि मैं उपदेशों का अवमूल्यन करता हूं। नहीं। सभ्यता के विकास में, हम कभी-कभी वही लौटते हैं जो छोड़ दिया गया था और अब पुनर्जीवित किया जा रहा है। लेकिन हमारा कोना गणितीय है, दार्शनिक नहीं।

किसी विशेष समुदाय से संबंधित होने का अर्थ "सामान्य प्रतीक", सामान्य रीडिंग, कहावत और दृष्टांत भी है। जो पूरी तरह से पोलिश भाषा सीखता है "स्ज़ेब्रेज़ेज़िन में एक बड़ा झुंड है, एक भृंग नरकट में भिनभिना रहा है" तुरंत एक विदेशी राज्य के जासूस के रूप में उजागर किया जाएगा यदि वह इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि कठफोड़वा क्या कर रहा है। बेशक उसका दम घुट रहा है!

ये सिर्फ एक मजाक नहीं है. दिसंबर 1944 में, जर्मनों ने बड़ी कीमत पर अर्देंनेस में अपना अंतिम आक्रमण शुरू किया। उन्होंने ऐसे सैनिकों को लामबंद किया, जो धाराप्रवाह अंग्रेजी बोलते थे, सहयोगी सैनिकों की आवाजाही को बाधित करने के लिए, उदाहरण के लिए उन्हें चौराहे पर गलत दिशा में ले जाकर। आश्चर्य के क्षण के बाद, अमेरिकियों ने सैनिकों से संदिग्ध प्रश्न पूछना शुरू कर दिया, जिनके उत्तर टेक्सास, नेब्रास्का या जॉर्जिया के एक व्यक्ति के लिए स्पष्ट होंगे और किसी ऐसे व्यक्ति के लिए समझ से बाहर होंगे जो वहां बड़ा नहीं हुआ था। वास्तविकताओं की अज्ञानता सीधे निष्पादन की ओर ले गई।

मुद्दे पर। मैं पाठकों को लुकाज़ बैडोव्स्की और ज़स्लाव एडमाशेक की पुस्तक "लेबोरेटरी इन ए डेस्क ड्रॉवर - मैथमैटिक्स" की सलाह देता हूं। यह एक अद्भुत किताब है जो शानदार ढंग से दिखाती है कि गणित वास्तव में किसी चीज के लिए उपयोगी है और यह "गणित प्रयोग" खाली शब्द नहीं है। इसमें अन्य बातों के अलावा, "कार्डबोर्ड एनिग्मा" का वर्णित निर्माण शामिल है - एक उपकरण जिसे बनाने में हमें केवल पंद्रह मिनट लगेंगे और जो एक गंभीर सिफर मशीन की तरह काम करता है। यह विचार अपने आप में इतना प्रसिद्ध था, उल्लिखित लेखकों ने इसे खूबसूरती से तैयार किया, और मैं इसे थोड़ा बदल दूंगा और इसे और अधिक गणितीय कपड़ों में लपेट दूंगा।

हैकसॉ

वारसॉ के उपनगरों में मेरे डाचा गांव की सड़कों में से एक पर, फुटपाथ को हाल ही में "ट्रिलिंका" - हेक्सागोनल फ़र्श स्लैब से हटा दिया गया था। सवारी असहज थी, लेकिन गणितज्ञ की आत्मा आनन्दित हुई। प्लेन को रेगुलर (यानी रेगुलर) पॉलीगोन से कवर करना आसान नहीं है। यह केवल त्रिकोण, वर्ग और नियमित षट्भुज हो सकते हैं।

हो सकता है कि मैंने इस आध्यात्मिक आनंद के साथ थोड़ा मजाक किया हो, लेकिन षट्भुज एक सुंदर आकृति है। इससे आप काफी सफल एन्क्रिप्शन डिवाइस बना सकते हैं। ज्यामिति मदद करेगी। षट्भुज में घूर्णी समरूपता होती है - यह 60 डिग्री के गुणक द्वारा घुमाए जाने पर स्वयं को ओवरलैप करता है। उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ में अक्षर A के साथ चिह्नित एक फ़ील्ड अंजीर। 1 इस कोण से मुड़ने के बाद, यह बॉक्स A में भी गिरेगा - और अन्य अक्षरों के साथ भी ऐसा ही होगा। तो चलिए ग्रिड से छह वर्गों को काटते हैं, प्रत्येक एक अलग अक्षर के साथ। हमने इस तरह से प्राप्त ग्रिड को कागज की शीट पर रख दिया। मुक्त छह क्षेत्रों में, उस पाठ के छह अक्षर दर्ज करें जिसे हम एन्क्रिप्ट करना चाहते हैं। चलिए शीट को 60 डिग्री घुमाते हैं। छह नए क्षेत्र दिखाई देंगे - हमारे संदेश के अगले छह अक्षर दर्ज करें।

चावल। 1. गणित की खुशी के ट्रिलिंक्स।

दाईं ओर अंजीर। 1 हमारे पास इस तरह से एन्कोडेड टेक्स्ट है: "स्टेशन पर एक भारी भारी भाप इंजन है।"

अब थोड़ा स्कूल का गणित काम आएगा। दो संख्याओं को एक दूसरे के सापेक्ष कितने प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है?

क्या बेवकूफी भरा सवाल है? दो के लिए: या तो एक सामने या दूसरा।

बढ़िया। और तीन नंबर?

सभी सेटिंग्स को सूचीबद्ध करना भी मुश्किल नहीं है:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

खैर, यह चार के लिए है! यह अभी भी स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है। मेरे द्वारा रखे गए आदेश नियम का अनुमान लगाएं:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

जब अंक पांच होते हैं, तो हमें 120 संभावित सेटिंग्स मिलती हैं। चलो उन्हें बुलाते हैं क्रमपरिवर्तन. n संख्याओं के संभावित क्रमपरिवर्तन की संख्या गुणनफल 1 2 3 ... n है, जिसे कहा जाता है मज़बूत और एक विस्मयादिबोधक बिंदु के साथ चिह्नित: 3!=6, 4!=24, 5!=120. अगली संख्या 6 के लिए हमारे पास 6!=720 है। हम इसका उपयोग अपने हेक्सागोनल सिफर शील्ड को और अधिक जटिल बनाने के लिए करेंगे।

हम 0 से 5 तक की संख्याओं का क्रमचय चुनते हैं, उदाहरण के लिए 351042। हमारी हेक्सागोनल स्क्रैम्बलिंग डिस्क में मध्य क्षेत्र में एक डैश है - ताकि इसे "शून्य स्थिति में" रखा जा सके - एक डैश अप, जैसा कि अंजीर में है। 1. हम डिस्क को इस तरह कागज की शीट पर रख देते हैं जिस पर हमें अपनी रिपोर्ट लिखनी होती है, लेकिन हम इसे तुरंत नहीं लिखते हैं, लेकिन इसे 60 डिग्री (यानी 180 डिग्री) से तीन बार घुमाते हैं और इसमें छह अक्षर दर्ज करते हैं खाली मैदान। हम प्रारंभिक स्थिति में लौटते हैं। हम डायल को पांच बार 60 डिग्री, यानी अपने डायल के पांच "दांतों" से मोड़ते हैं। हम छापते हैं। अगली स्केल स्थिति शून्य के आसपास 60 डिग्री घुमाई गई स्थिति है। चौथी स्थिति 0 डिग्री है, यह प्रारंभिक स्थिति है।

क्या आप समझते हैं कि क्या हुआ? हमारे पास एक अतिरिक्त अवसर है - हमारी "मशीन" को सात सौ से अधिक बार जटिल बनाने के लिए! तो, हमारे पास "ऑटोमेटन" की दो स्वतंत्र स्थितियां हैं - ग्रिड की पसंद और क्रमपरिवर्तन की पसंद। ग्रिड को 66 = 46656 तरीकों से चुना जा सकता है, क्रमचय 720। इससे 33592320 संभावनाएं मिलती हैं। 33 मिलियन से अधिक सिफर! लगभग थोड़ा कम, क्योंकि कुछ ग्रिड को कागज से नहीं काटा जा सकता है।

निचले हिस्से में अंजीर। 1 हमारे पास इस तरह कोडित एक संदेश है: "मैं आपको चार पैराशूट डिवीजन भेज रहा हूं।" यह समझना आसान है कि दुश्मन को इसके बारे में जानने की अनुमति नहीं दी जानी चाहिए। लेकिन क्या वह इनमें से कुछ समझ पाएगा:

मैं

,

हस्ताक्षर 351042 के साथ भी?

हम एक जर्मन सिफर मशीन एनिग्मा का निर्माण कर रहे हैं

चावल। 2. हमारी एन्क्रिप्शन मशीन के प्रारंभिक सेटअप का एक उदाहरण।

क्रमपरिवर्तन (एएफ) (बीजे) (सीएल) (डीडब्ल्यू) (ईआई) (जीटी) (एचओ) (केएस) (एमएक्स) (एनयू) (पीजेड) (आरवाई)।

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, मुझे इस तरह की कार्डबोर्ड मशीन बनाने का विचार "लैब इन ए ड्रॉअर - मैथमेटिक्स" पुस्तक के लिए देना है। मेरा "निर्माण" इसके लेखकों द्वारा दिए गए से कुछ अलग है।

युद्ध के दौरान जर्मनों द्वारा इस्तेमाल की जाने वाली सिफर मशीन में एक सरल सरल सिद्धांत था, जो कुछ हद तक हेक्स सिफर के समान था। हर बार एक ही बात: एक पत्र के कठिन असाइनमेंट को दूसरे अक्षर को तोड़ना. यह बदलने योग्य होना चाहिए। इस पर नियंत्रण पाने के लिए इसे कैसे करें?

चलो कोई क्रमपरिवर्तन नहीं चुनते हैं, लेकिन एक जिसकी लंबाई 2 के चक्र हैं। सीधे शब्दों में कहें, कुछ महीने पहले वर्णित "गडेरिपोलुक" जैसा कुछ, लेकिन वर्णमाला के सभी अक्षरों को कवर करता है। आइए 24 अक्षरों पर सहमत हों - बिना ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q। ऐसे कितने क्रमपरिवर्तन? यह हाई स्कूल स्नातकों के लिए एक कार्य है (उन्हें इसे तुरंत हल करने में सक्षम होना चाहिए)। कितने? बहुत ज़्यादा? कई हज़ार? हाँ:

1912098225024001185793365052108800000000 (आइए इस नंबर को पढ़ने की कोशिश भी न करें)। "शून्य" स्थिति निर्धारित करने की बहुत संभावनाएं हैं। और यह मुश्किल हो सकता है।

हमारी मशीन में दो गोल डिस्क होते हैं। उनमें से एक पर, जो अभी भी खड़ा है, पत्र लिखे गए हैं। यह एक पुराने फोन के डायल की तरह है, जहां आप डायल को पूरी तरह घुमाकर एक नंबर डायल करते थे। रंग योजना के साथ रोटरी दूसरा है। सबसे आसान तरीका है कि उन्हें पिन का उपयोग करके नियमित कॉर्क पर रखा जाए। कॉर्क के बजाय, आप एक पतले बोर्ड या मोटे कार्डबोर्ड का उपयोग कर सकते हैं। Lukasz Badowski और Zasław Adamaszek दोनों डिस्क को एक सीडी बॉक्स में रखने की सलाह देते हैं।

कल्पना कीजिए कि हम ARMATY शब्द को एन्कोड करना चाहते हैं (चावल। 2 और 3). डिवाइस को शून्य स्थिति (तीर ऊपर) पर सेट करें। अक्षर A, F से मेल खाता है। आंतरिक सर्किट को एक अक्षर को दाईं ओर घुमाएं। हमारे पास एनकोड करने के लिए अक्षर R है, अब यह A से मेल खाता है। अगले घुमाव के बाद, हम देखते हैं कि अक्षर M U से मेल खाता है। अगला घुमाव (चौथा आरेख) पत्राचार A - P देता है। पांचवें डायल पर हमारे पास T है - ए। अंत में (छठा चक्र) वाई - वाई दुश्मन शायद अनुमान नहीं लगाएगा कि हमारे सीएफसीएफए उसके लिए खतरनाक होंगे। और "हमारा" प्रेषण कैसे पढ़ेगा? उनके पास एक ही मशीन होनी चाहिए, वही "प्रोग्राम्ड", यानी एक ही क्रमपरिवर्तन के साथ। सिफर शून्य स्थिति से शुरू होता है। तो F का मान A है। डायल को दक्षिणावर्त घुमाएं। अक्षर A अब R से जुड़ा हुआ है। वह डायल को दाईं ओर घुमाता है और अक्षर U के नीचे M आदि पाता है। सिफर क्लर्क जनरल के पास जाता है: "जनरल, मैं रिपोर्ट कर रहा हूं, बंदूकें आ रही हैं!"

चावल। 3. हमारे पेपर एनिग्मा के संचालन का सिद्धांत।

चावल। 3. हमारे पेपर एनिग्मा के संचालन का सिद्धांत।

ऐसी आदिम पहेली की संभावनाएं भी अद्भुत हैं। हम अन्य आउटपुट क्रमपरिवर्तन चुन सकते हैं। हम कर सकते हैं - और यहाँ और भी अवसर हैं - एक "सेरिफ़" नियमित रूप से नहीं, बल्कि एक निश्चित, दैनिक बदलते क्रम में, एक षट्भुज के समान (उदाहरण के लिए, पहले तीन अक्षर, फिर सात, फिर आठ, चार ... .. आदि।)।

आप कैसे अनुमान लगा सकते हैं?! और फिर भी पोलिश गणितज्ञों के लिए (मैरियन रीवस्की, हेनरिक ज़िगल्स्की, जेरज़ी रुज़िकिक) हुआ। इस प्रकार प्राप्त जानकारी अमूल्य थी। पहले, हमारी रक्षा के इतिहास में उनका समान रूप से महत्वपूर्ण योगदान था। वैक्लेव सर्पिन्स्की i स्टानिस्लाव मजुर्केविचजिन्होंने 1920 में रूसी सैनिकों की संहिता का उल्लंघन किया था। इंटरसेप्टेड केबल ने पिल्सडस्की को वेप्स नदी से प्रसिद्ध युद्धाभ्यास करने का अवसर दिया।

मुझे वास्लाव सीरपिंस्की (1882-1969) याद है। वह एक गणितज्ञ की तरह लग रहा था जिसके लिए बाहरी दुनिया मौजूद नहीं थी। वह 1920 में सैन्य और ... दोनों राजनीतिक कारणों से जीत में अपनी भागीदारी के बारे में बात नहीं कर सके (पोलिश पीपुल्स रिपब्लिक के अधिकारियों को उन लोगों को पसंद नहीं आया जिन्होंने सोवियत संघ से हमारा बचाव किया)।

चावल। 4. क्रमचय (एपी) (बीएफ) (सीएम) (डीएस) (ईडब्ल्यू) (जीवाई) (एचके) (आईयू) (जेएक्स) (एलजेड) (एनआर) (ओटी)।

चावल। 5. सुंदर सजावट, लेकिन एन्क्रिप्शन के लिए उपयुक्त नहीं है। बहुत नियमित रूप से।

टास्क 1। Na अंजीर। 4 पहेली बनाने के लिए आपके पास एक और क्रमपरिवर्तन है। ड्राइंग को जेरोग्राफ में कॉपी करें। एक कार बनाएं, अपना पहला और अंतिम नाम कोड करें। मेरा CWONUE JTRYGT. यदि आप अपने नोट्स को निजी रखना चाहते हैं, तो कार्डबोर्ड एनिग्मा का उपयोग करें।

टास्क 2। आपके द्वारा देखी गई "कारों" में से किसी एक का अपना नाम और उपनाम एन्क्रिप्ट करें, लेकिन (ध्यान!) एक अतिरिक्त जटिलता के साथ: हम एक पायदान को दाईं ओर नहीं मोड़ते हैं, लेकिन योजना के अनुसार {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - यानी पहले एक से, फिर दो से, फिर तीन से, फिर 2 से, फिर 1 से, फिर 2 से, आदि, इस तरह की "तरंगिका" . सुनिश्चित करें कि मेरा पहला और अंतिम नाम CZTTAK SDBITH के रूप में एन्क्रिप्ट किया गया है। अब आप समझ गए हैं कि एनिग्मा मशीन कितनी शक्तिशाली थी?

हाई स्कूल स्नातकों के लिए समस्या का समाधान। एनिग्मा के लिए कितने कॉन्फ़िगरेशन विकल्प (इस संस्करण में, जैसा कि लेख में वर्णित है)? हमारे पास 24 अक्षर हैं। हम अक्षरों की पहली जोड़ी का चयन करते हैं - यह किया जा सकता है

तरीके। अगली जोड़ी को चुना जा सकता है

तरीके, अधिक

आदि। संबंधित गणनाओं के बाद (सभी संख्याओं को गुणा किया जाना चाहिए), हम प्राप्त करते हैं

151476660579404160000

फिर उस संख्या को 12 से भाग दें ! (12 फैक्टोरियल), क्योंकि एक ही जोड़े को एक अलग क्रम में प्राप्त किया जा सकता है। तो अंत में हमें "कुल" मिलता है

316234143225,

यह सिर्फ 300 अरब से अधिक है, जो आज के सुपर कंप्यूटरों के लिए एक चौंका देने वाली बड़ी संख्या की तरह प्रतीत नहीं होता है। हालांकि, अगर क्रमपरिवर्तन के यादृच्छिक क्रम को ध्यान में रखा जाए, तो यह संख्या काफी बढ़ जाती है। हम अन्य प्रकार के क्रमपरिवर्तन के बारे में भी सोच सकते हैं।

इन्हें भी देखें: