आंख में पांच बार
2020 के अंत में, विश्वविद्यालयों और स्कूलों में कई कार्यक्रम आयोजित किए गए, जिन्हें मार्च से स्थगित कर दिया गया। उनमें से एक था पाई दिवस का "उत्सव"। इस अवसर पर, 8 दिसंबर को, मैंने सिलेसिया विश्वविद्यालय में एक दूरस्थ व्याख्यान दिया, और यह लेख व्याख्यान का सारांश है। पूरी पार्टी 9.42 बजे शुरू हुई और मेरा व्याख्यान 10.28 बजे निर्धारित है। इतनी सटीकता कहां से आती है? यह सरल है: 3 गुना पाई लगभग 9,42 है, और π से दूसरी शक्ति लगभग 2 है, और घंटा 9,88 से 9वीं शक्ति 88 से 10वीं है...
इस संख्या का सम्मान करने की प्रथा, किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को व्यक्त करना और कभी-कभी इसे आर्किमिडीज़ स्थिरांक भी कहा जाता है (साथ ही जर्मन-भाषी संस्कृतियों में), संयुक्त राज्य अमेरिका से आता है (यह सभी देखें: ). 3.14 मार्च "अमेरिकी शैली" 22:22 पर, इसलिए विचार। पोलिश समकक्ष 7 जुलाई हो सकता है क्योंकि अंश 14/XNUMX लगभग π अच्छी तरह से है, जो ... आर्किमिडीज पहले से ही जानता था। खैर, XNUMX मार्च साइड इवेंट्स के लिए सबसे अच्छा समय है।
ये तीन और चौदह सौवां भाग उन कुछ गणितीय संदेशों में से एक है जो स्कूल से लेकर जीवन भर हमारे साथ रहे हैं। हर कोई जानता है कि इसका क्या मतलब है"आंख में पांच बार". यह भाषा में इतना रच-बस गया है कि इसे अलग-अलग ढंग से और उसी शालीनता के साथ व्यक्त करना कठिन है। जब मैंने कार मरम्मत की दुकान पर पूछा कि मरम्मत में कितना खर्च आएगा, तो मैकेनिक ने इसके बारे में सोचा और कहा: "पांच गुना लगभग आठ सौ ज़्लॉटी।" मैंने स्थिति का लाभ उठाने का निर्णय लिया। "आपका मतलब किसी मोटे अनुमान से है?" मैकेनिक ने सोचा होगा कि मैंने ग़लत सुना है, इसलिए उसने दोहराया, "मुझे ठीक-ठीक नहीं पता कि कितना, लेकिन पाँच बार एक आँख 800 होगी।"
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यह किस बारे में है? द्वितीय विश्व युद्ध से पहले की वर्तनी में "नहीं" का एक साथ उपयोग किया जाता था, और मैंने इसे वहीं छोड़ दिया। हम यहां अनावश्यक रूप से भव्य कविता के साथ काम नहीं कर रहे हैं, हालांकि मुझे यह विचार पसंद है कि "एक सुनहरा जहाज खुशी पंप करता है।" विद्यार्थियों से पूछें: इस विचार का क्या अर्थ है? लेकिन इस पाठ का महत्व कहीं और है। निम्नलिखित शब्दों में अक्षरों की संख्या pi एक्सटेंशन के अंक हैं। आइए एक नजर डालते हैं:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 XNUMX
1596 में जर्मन मूल के एक डच वैज्ञानिक लुडोल्फ़ वान सेउलेन 35 दशमलव स्थानों तक पाई के मान की गणना की. फिर ये आकृतियाँ उनकी कब्र पर उकेरी गईं। उन्होंने संख्या पाई और हमारे नोबेल पुरस्कार विजेता को एक कविता समर्पित की, विस्लावा सिम्बोर्स्का. सिम्बोर्स्का इस संख्या की गैर-आवधिकता और इस तथ्य से मोहित हो गया था कि संभावना 1 के साथ अंकों का प्रत्येक क्रम, जैसे कि हमारा फोन नंबर, वहां दिखाई देगा। जबकि पहला गुण प्रत्येक अपरिमेय संख्या में अंतर्निहित होता है (जिसे हमें स्कूल से याद रखना चाहिए), दूसरा एक दिलचस्प गणितीय तथ्य है जिसे साबित करना मुश्किल है। आप ऐसे ऐप्स भी पा सकते हैं जो यह पेशकश करते हैं: मुझे अपना फ़ोन नंबर दें और मैं आपको बताऊंगा कि यह पीआई में कहां है।
जहाँ गोलाई है, वहाँ नींद है। यदि हमारे पास एक गोल झील है, तो इसके चारों ओर घूमना तैरने से 1,57 गुना अधिक है। बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि हम जितना पास करेंगे उससे डेढ़ से दो गुना धीमी गति से तैरेंगे। मैंने 100 मीटर विश्व रिकॉर्ड को 100 मीटर विश्व रिकॉर्ड के साथ साझा किया। दिलचस्प बात यह है कि पुरुषों और महिलाओं में परिणाम लगभग समान है और 4,9 है। हम जितना दौड़ते हैं उससे 5 गुना धीमी गति से तैरते हैं। रोइंग पूरी तरह से अलग है - लेकिन एक दिलचस्प चुनौती। इसकी काफी लंबी कहानी है।
पीछा करने वाले खलनायक से भागते हुए, सुंदर और नेक गुड वन झील में चला गया। खलनायक किनारे पर दौड़ता है और उसके उतरने का इंतजार करता है। बेशक, वह डोब्री पंक्तियों की तुलना में तेज दौड़ता है, और यदि वह सुचारू रूप से दौड़ता है, तो डोब्री तेज है। तो बुराई के लिए एकमात्र मौका तट से अच्छा प्राप्त करना है - रिवाल्वर से एक सटीक शॉट एक विकल्प नहीं है, क्योंकि। अच्छाई के पास बहुमूल्य जानकारी है जिसे ईविल जानना चाहता है।
गुड निम्नलिखित रणनीति का पालन करता है। वह झील के उस पार तैरता है, धीरे-धीरे किनारे के पास पहुंचता है, लेकिन हमेशा शैतान के विपरीत दिशा में रहने की कोशिश करता है, जो बेतरतीब ढंग से बाईं ओर, फिर दाईं ओर दौड़ता है। यह चित्र में दिखाया गया है. माना कि ईविल की आरंभ स्थिति Z है1, और डोबरे झील के बीच में है। जब Zly Z में जाता है1, अच्छा डी तक तैर जाएगा।1जब बैड Z में है2, डी पर अच्छा है2. यह टेढ़े-मेढ़े तरीके से बहेगा, लेकिन नियम के अनुपालन में: जहाँ तक संभव हो Z से। हालाँकि, जैसे-जैसे यह झील के केंद्र से दूर जाता है, अच्छाई को बड़े और बड़े घेरे में जाना होगा, और कुछ बिंदु पर यह "बुराई के दूसरी तरफ होने" के सिद्धांत का पालन नहीं कर सकता है। फिर वह अपनी पूरी ताकत से नाव चलाकर किनारे की ओर आया, यह आशा करते हुए कि दुष्ट व्यक्ति झील के पास से नहीं गुजरेगा। क्या गुड सफल होगा?
उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि बैड के पैरों के मान के संबंध में गुड कितनी तेजी से दौड़ सकता है। मान लीजिए कि बुरा आदमी झील पर अच्छे आदमी की गति से गुना अधिक गति से दौड़ता है। नतीजतन, सबसे बड़ा वृत्त, जिस पर अच्छाई बुराई का विरोध करने के लिए पंक्तिबद्ध हो सकती है, उसकी त्रिज्या एक झील की त्रिज्या से एक गुना छोटी है। तो, हमारे पास ड्राइंग में है। बिंदु W पर, हमारा प्रकार किनारे की ओर पंक्तिबद्ध होना शुरू करता है। यह अवश्य जाना चाहिए
गति के साथ
उसे समय चाहिए.
दुष्ट उसके सर्वोत्तम कदमों का पीछा कर रहा है। उसे वृत्त का आधा भाग पूरा करना होगा, जिसमें उसे चयनित इकाइयों के आधार पर सेकंड या मिनट लगेंगे। यदि यह एक सुखद अंत से अधिक है:
जो अच्छा होगा वो जायेगा. सरल खाते दिखाते हैं कि यह क्या होना चाहिए। यदि बुरा आदमी अच्छे आदमी से 4,14 गुना तेज दौड़ता है, तो इसका अंत अच्छा नहीं होता। और यहां भी, हमारी संख्या पाई हस्तक्षेप करती है।
जो गोल है वह सुंदर है। आइए तीन सजावटी प्लेटों की तस्वीर देखें - मेरे पास मेरे माता-पिता के बाद है। इनके बीच वक्रीय त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है? यह एक साधारण कार्य है; जवाब उसी फोटो में है। हमें आश्चर्य नहीं है कि यह सूत्र में प्रकट होता है - आखिरकार, जहाँ गोलाई होती है, वहाँ पाई होती है।
मैंने संभवतः अपरिचित शब्द का प्रयोग किया:। यह जर्मन भाषी संस्कृति में संख्या पाई का नाम है, और यह सब डच के लिए धन्यवाद (वास्तव में एक जर्मन जो नीदरलैंड में रहता था - उस समय राष्ट्रीयता कोई मायने नहीं रखती थी), सियोलेन का लुडोल्फ... 1596 में उन्होंने अपने विस्तार के 35 अंकों की दशमलव तक गणना की. यह रिकॉर्ड 1853 तक कायम रहा, जब तक विलियम रदरफोर्ड 440 सीटें गिनाईं. मैन्युअल गणना के लिए रिकॉर्ड धारक (शायद हमेशा के लिए) है विलियम शैंक्सजिन्होंने कई वर्षों के कार्य के बाद (1873 में) प्रकाशित किया 702 अंकों तक विस्तार. केवल 1946 में, अंतिम 180 अंक गलत पाए गए, लेकिन यह वैसा ही रहा। 527 सही है. बग को ढूंढना स्वयं दिलचस्प था। शैंक्स के परिणाम के प्रकाशन के तुरंत बाद, उन्हें संदेह हुआ कि "कुछ गलत था" - विकास में संदिग्ध रूप से कुछ सात थे। अभी तक अप्रमाणित (दिसंबर 2020) परिकल्पना में कहा गया है कि सभी संख्याएँ समान आवृत्ति के साथ प्रकट होनी चाहिए। इसने डी.टी. फर्ग्यूसन को शैंक्स की गणनाओं को संशोधित करने और "शिक्षार्थी" की त्रुटि खोजने के लिए प्रेरित किया!
बाद में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर ने लोगों की मदद की। वर्तमान (दिसंबर 2020) रिकॉर्ड धारक है टिमोथी मुलिकन (50 ट्रिलियन दशमलव स्थान)। गणना में 303 दिन लगे। आइए खेलते हैं: यह संख्या कितनी जगह लेगी, एक मानक पुस्तक में मुद्रित। हाल तक, पाठ का मुद्रित "पक्ष" 1800 वर्ण (30 पंक्तियाँ गुणा 60 पंक्तियाँ) था। आइए अक्षरों और पेज मार्जिन की संख्या कम करें, प्रति पेज 5000 अक्षर रटें, और 50 पेज की किताबें प्रिंट करें। तो XNUMX ट्रिलियन अक्षर दस मिलियन किताबें लेंगे। बुरा नहीं है, है ना?
सवाल यह है कि ऐसे संघर्ष का मतलब क्या है? विशुद्ध आर्थिक दृष्टिकोण से, करदाता को गणितज्ञों के ऐसे "मनोरंजन" के लिए भुगतान क्यों करना चाहिए? उत्तर कठिन नहीं है. पहला, सियोलेन से गणना के लिए रिक्त स्थान का आविष्कार किया, तो लघुगणकीय गणना के लिए उपयोगी है। यदि उससे कहा गया होता: कृपया, रिक्त स्थान बनाएं, तो उसने उत्तर दिया होता: क्यों? इसी प्रकार आदेश:. जैसा कि आप जानते हैं, यह खोज पूरी तरह से आकस्मिक नहीं थी, लेकिन फिर भी एक अलग प्रकार के शोध का उप-उत्पाद थी।
दूसरे, आइए पढ़ें कि वह क्या लिखते हैं टिमोथी मुलिकन. यहां उनके काम की शुरुआत का पुनरुत्पादन है। प्रोफ़ेसर मुल्लिकन साइबर सुरक्षा में हैं, और पाई इतना छोटा शौक है कि उन्होंने अभी-अभी अपनी नई साइबर सुरक्षा प्रणाली का परीक्षण किया है।
और इंजीनियरिंग में 3,14159 पर्याप्त से अधिक है, यह दूसरी बात है। आइए एक सरल गणना करें. बृहस्पति सूर्य से 4,774 Tm दूर है (टेरामीटर = 1012 मीटर)। ऐसी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि की गणना 1 मिलीमीटर की बेतुकी सटीकता से करने के लिए, π = 3,1415926535897932 लेना पर्याप्त होगा।
निम्नलिखित फोटो में लेगो ईंटों का एक चौथाई वृत्त दिखाया गया है। मैंने 1774 पैड का उपयोग किया और यह लगभग 3,08 पीआई था। सर्वोत्तम नहीं, लेकिन क्या अपेक्षा करें? वृत्त वर्गों से नहीं बनाया जा सकता।
बिल्कुल। संख्या पाई ज्ञात है वृत्त वर्ग - एक गणितीय समस्या जो 2000 से अधिक वर्षों से इसके समाधान की प्रतीक्षा कर रही है - ग्रीक काल से। क्या आप किसी कम्पास और सीधी भुजा का उपयोग करके एक ऐसा वर्ग बना सकते हैं जिसका क्षेत्रफल दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर हो?
"वृत्त का वर्ग" शब्द किसी असंभव चीज़ के प्रतीक के रूप में बोलचाल की भाषा में प्रवेश कर गया है। मैं यह पूछने के लिए कुंजी दबाता हूं कि क्या यह किसी प्रकार की शत्रुता की खाई को भरने का प्रयास है जो हमारे खूबसूरत देश के नागरिकों को अलग करती है? लेकिन मैं पहले से ही इस विषय से बचता हूं, क्योंकि मेरा मन शायद केवल गणित में ही लगता है।
और फिर वही बात - वृत्त को चौकोर करने की समस्या का हल इस तरह प्रकट नहीं हुआ कि समाधान के लेखक, चार्ल्स लिंडमैन, 1882 में उनकी स्थापना हुई और अंततः सफल हुए। कुछ हद तक हाँ, लेकिन यह व्यापक मोर्चे से किये गये हमले का परिणाम था। गणितज्ञों ने जान लिया है कि संख्याएँ विभिन्न प्रकार की होती हैं। पूर्णांक ही नहीं, परिमेय (अर्थात् भिन्न) और अपरिमेय भी। अपरिमेयता बेहतर या बदतर भी हो सकती है। हमें स्कूल से याद होगा कि अपरिमेय संख्या √2 है, एक संख्या जो किसी वर्ग के विकर्ण की लंबाई और उसकी भुजा की लंबाई के अनुपात को व्यक्त करती है। किसी भी अपरिमेय संख्या की तरह इसका भी अनिश्चित विस्तार होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि आवधिक विस्तार तर्कसंगत संख्याओं का एक गुण है, अर्थात। निजी पूर्णांक:
यहां संख्या 142857 का क्रम अनिश्चित काल तक दोहराता है। √2 के लिए ऐसा नहीं होगा - यह अपरिमेयता का हिस्सा है। लेकिन आप कर सकते हैं:
(अंश सदैव चलता रहता है)। हम यहां एक पैटर्न देखते हैं, लेकिन एक अलग प्रकार का। पाई इतनी भी आम बात नहीं है. इसे बीजगणितीय समीकरण को हल करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है - यानी, जिसमें न तो वर्गमूल है, न ही लघुगणक, न ही त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन। यह पहले से ही दिखाता है कि यह रचनात्मक नहीं है - वृत्त खींचने से द्विघात कार्य होते हैं, और रेखाएँ - सीधी रेखाएँ - पहली डिग्री के समीकरणों की ओर ले जाती हैं।
शायद मैं मुख्य कथानक से भटक गया हूँ। केवल सभी गणित के विकास ने मूल की ओर लौटना संभव बना दिया - विचारकों के प्राचीन सुंदर गणित की ओर जिन्होंने हमारे लिए विचार की यूरोपीय संस्कृति बनाई, जो आज कुछ लोगों द्वारा बहुत संदिग्ध है।
कई प्रतिनिधि पैटर्न में से, मैंने दो को चुना। उनमें से सबसे पहले हम उपनाम के साथ जुड़ते हैं गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ (1646 1716).
लेकिन वह संगमग्राम (1350-1425) के मध्ययुगीन हिंदू विद्वान माधव के लिए जाना जाता था (मॉडल, लाइबनिज नहीं)। उस समय सूचना का हस्तांतरण बहुत अच्छा नहीं था - इंटरनेट कनेक्शन अक्सर खराब थे, और मोबाइल फोन के लिए बैटरी नहीं थी (क्योंकि अभी तक इलेक्ट्रॉनिक्स का आविष्कार नहीं हुआ था!)। सूत्र सुंदर है, लेकिन गणना के लिए अनुपयोगी है। सौ अवयवों से, "केवल" 3,15159 प्राप्त होता है।
वह थोड़ा बेहतर है वियत का सूत्र (द्विघात समीकरणों में से एक), और इसका सूत्र प्रोग्राम करना आसान है क्योंकि उत्पाद में अगला पद पिछले प्लस दो का वर्गमूल है।
हम जानते हैं कि वृत्त गोल है। हम कह सकते हैं कि यह 100 फीसदी राउंड है. गणितज्ञ पूछेगा: क्या कोई चीज़ 1 प्रतिशत गोल नहीं हो सकती? जाहिरा तौर पर, यह एक विरोधाभास है, एक वाक्यांश जिसमें एक छिपा हुआ विरोधाभास है, जैसे, उदाहरण के लिए, गर्म बर्फ। लेकिन आइए यह मापने का प्रयास करें कि आकृतियाँ कितनी गोल हो सकती हैं। इससे पता चलता है कि एक अच्छा माप निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है, जिसमें S क्षेत्रफल है और L आकृति की परिधि है। आइए जानें कि वृत्त वास्तव में गोल है, कि सिग्मा 6 है। वृत्त का क्षेत्रफल परिधि है। हम डालते हैं... और देखते हैं कि क्या सही है। वर्ग कितना गोल है? गणनाएँ उतनी ही सरल हैं, मैं उन्हें बताऊँगा भी नहीं। त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंकित एक नियमित षट्भुज लीजिए। परिधि स्पष्ट रूप से XNUMX है।
पोल
एक नियमित षट्भुज के बारे में क्या ख्याल है? इसकी परिधि 6 और क्षेत्रफल है
तो हमारे पास
जो लगभग 0,952 के बराबर है। षट्कोण 95% से अधिक "गोल" है।
एक खेल स्टेडियम की गोलाई की गणना करते समय एक दिलचस्प परिणाम प्राप्त होता है। IAAF के नियमों के अनुसार, सीधी और वक्र 40 मीटर लंबी होनी चाहिए, हालांकि विचलन की अनुमति है। मुझे याद है कि ओस्लो का बिस्लेट स्टेडियम संकरा और लंबा था। मैं "था" लिखता हूं क्योंकि मैं भी इस पर दौड़ा था (एक शौकिया के लिए!), लेकिन XNUMX से अधिक साल पहले। आइए एक नजर डालते हैं:
यदि चाप की त्रिज्या 100 मीटर है, तो उस चाप की त्रिज्या मीटर है। लॉन का क्षेत्रफल वर्ग मीटर है, और इसके बाहर का क्षेत्र (जहां स्प्रिंगबोर्ड हैं) कुल वर्ग मीटर है। आइए इसे सूत्र में प्लग करें:
तो क्या किसी खेल स्टेडियम की गोलाई का समबाहु त्रिभुज से कोई संबंध है? क्योंकि एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई भुजा से जितनी गुना अधिक होती है उतनी ही होती है। यह संख्याओं का एक यादृच्छिक संयोग है, लेकिन यह अच्छा है। मुझे यह पसंद है। और पाठक?
खैर, यह अच्छा है कि यह गोल है, हालांकि कुछ लोगों को आपत्ति हो सकती है क्योंकि जो वायरस हम सभी को प्रभावित करता है वह गोल है। कम से कम वे इसे इसी तरह चित्रित करते हैं।
