गणित की अवास्तविक दुनिया में यात्रा करें

मैंने यह लेख एक बुधवार को एक कंप्यूटर साइंस कॉलेज में व्याख्यान और अभ्यास के बाद लिखा था। मैं इस स्कूल के छात्रों की आलोचना, उनके ज्ञान, विज्ञान के प्रति दृष्टिकोण और सबसे महत्वपूर्ण: सीखने के कौशल से अपना बचाव करता हूं। ये...उन्हें कोई नहीं सिखाता.

मैं इतना रक्षात्मक क्यों हूं? एक साधारण कारण के लिए - मैं उस उम्र में हूं जब शायद हमारे आसपास की दुनिया अभी तक समझ में नहीं आई है। हो सकता है कि मैं उन्हें घोड़ों को पालना और खोलना सिखा रहा हूँ, न कि कार चलाना? शायद मैं उन्हें क्विल पेन से लिखना सिखाऊं? हालाँकि मेरे पास किसी व्यक्ति के बारे में बेहतर राय है, मैं खुद को "अनुसरण" मानता हूँ, लेकिन ...

कुछ समय पहले तक, हाई स्कूल में, वे जटिल संख्याओं के बारे में बात करते थे। और इसी बुधवार को मैं घर आया, छोड़ दिया - लगभग किसी भी छात्र ने अभी तक यह नहीं सीखा है कि यह क्या है और इन नंबरों का उपयोग कैसे करें। कुछ सभी गणित को चित्रित दरवाजे पर हंस की तरह देखते हैं। लेकिन मैं वास्तव में हैरान था जब उन्होंने मुझे बताया कि कैसे सीखना है। सीधे शब्दों में कहें, व्याख्यान का प्रत्येक घंटा दो घंटे का गृहकार्य है: एक पाठ्यपुस्तक पढ़ना, किसी दिए गए विषय पर समस्याओं को हल करना सीखना आदि। इस तरह से तैयार होने के बाद, हम अभ्यास में आते हैं, जहां हम सब कुछ सुधारते हैं ... सुखद रूप से, छात्रों ने, जाहिरा तौर पर, सोचा कि व्याख्यान में बैठे - सबसे अधिक बार खिड़की से बाहर देखना - पहले से ही सिर में ज्ञान के प्रवेश की गारंटी देता है।

रुकना! बस काफी है। मैं राष्ट्रीय बाल कोष, एक संस्था जो पूरे देश के प्रतिभाशाली बच्चों का समर्थन करती है, के साथियों के साथ एक कक्षा के दौरान प्राप्त एक प्रश्न के उत्तर का वर्णन करूंगा। प्रश्न (या बल्कि प्रस्ताव) था:

— क्या आप हमें अवास्तविक संख्याओं के बारे में कुछ बता सकते हैं?

"बेशक," मैंने उत्तर दिया। 

संख्याओं की वास्तविकता

पाइथागोरस ने कहा, "एक दोस्त दूसरा मैं होता है, दोस्ती संख्या 220 और 284 का अनुपात है।" यहाँ मुद्दा यह है कि संख्या 220 के भाजक का योग 284 के बराबर है, और संख्या 284 के भाजक का योग 220 के बराबर है:

५०० + ४५० + ३५० + २०० + ५० = १५५०

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284। ध्यान दें कि बाइबिल के जैकब ने दोस्ती की निशानी के रूप में एसाव को 220 भेड़ें और मेढ़े दिए थे (उत्पत्ति 32:14)।

संख्या 220 और 284 के बीच एक और दिलचस्प संयोग यह है: सत्रह उच्चतम अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 हैं। और 59.

उनका योग 2x220 है, और वर्गों का योग 59x284 है।

पहला। "वास्तविक संख्या" की कोई अवधारणा नहीं है। यह ऐसा है जैसे हाथियों के बारे में एक लेख पढ़ने के बाद, आप पूछते हैं, "अब हम गैर-हाथियों के बारे में पूछने जा रहे हैं।" पूर्ण और गैर-पूर्ण, तर्कसंगत और अपरिमेय हैं, लेकिन कोई असत्य नहीं है। विशेष रूप से: जो संख्याएँ वास्तविक नहीं हैं उन्हें अमान्य नहीं कहा जाता है। गणित में कई प्रकार की "संख्याएँ" होती हैं, और वे एक-दूसरे से उतनी ही भिन्न होती हैं जितनी - एक प्राणीशास्त्रीय तुलना के अनुसार - एक हाथी और एक केंचुआ।

दूसरे, हम ऐसे ऑपरेशन करेंगे जिन्हें आप पहले से ही जानते होंगे कि वे प्रतिबंधित हैं: ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल निकालना। खैर, गणित ऐसी बाधाओं को दूर कर देगा। हालांकि यह समझ में आता है? गणित में, किसी भी अन्य विज्ञान की तरह, कोई सिद्धांत ज्ञान के भण्डार में हमेशा के लिए प्रवेश करता है या नहीं, यह इसके अनुप्रयोग पर निर्भर करता है। यदि यह बेकार है, तो यह कूड़ेदान में समाप्त हो जाता है, फिर ज्ञान के इतिहास के किसी कचरे में। इस लेख के अंत में मैं जिन संख्याओं के बारे में बात कर रहा हूँ, उनके बिना गणित का विकास असंभव है। लेकिन शुरुआत कुछ छोटी-छोटी बातों से करते हैं। वास्तविक संख्याएँ क्या होती हैं, आप जानते हैं। वे संख्या रेखा को सघनता से और बिना अंतराल के भरते हैं। आप यह भी जानते हैं कि प्राकृतिक संख्याएँ क्या हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - ये सभी इसमें फिट नहीं होंगे स्मृति भी महानतम। उनका एक सुंदर नाम भी है: प्राकृतिक। उनके पास बहुत सारी रोचक संपत्तियां हैं। आपको यह कैसे लगता है:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

कार्ल लिंडेनहोम ने कहा, "प्राकृतिक संख्याओं में दिलचस्पी होना स्वाभाविक है, और लियोपोल्ड क्रोनकर (1823-1891) ने इसे संक्षेप में कहा: "भगवान ने प्राकृतिक संख्याएँ बनाईं - बाकी सब कुछ मनुष्य का काम है!" भिन्नों (गणितज्ञों द्वारा इन्हें परिमेय संख्याएँ कहा जाता है) में भी अद्भुत गुण होते हैं:

और समानता में:

आप बायीं ओर से शुरू करके, प्लस को रगड़ सकते हैं और उन्हें गुणन चिह्नों से बदल सकते हैं - और समानता सत्य रहेगी:

और इतने पर.

जैसा कि ज्ञात है, भिन्न a/b के लिए, जहां a और b पूर्णांक हैं और b ≠ 0 है, वे कहते हैं तर्कसंगत संख्या. लेकिन वे स्वयं को केवल पोलिश भाषा में ही कहते हैं। वे अंग्रेजी, फ्रेंच, जर्मन और रूसी भाषा बोलते हैं। तर्कसंगत संख्या. अंग्रेज़ी में: तर्कसंगत संख्याएँ। तर्कहीन संख्या यह अतार्किक है, अतार्किक है। हम पोलिश में तर्कहीन सिद्धांतों, विचारों और कार्यों के बारे में भी बात करते हैं - यह पागलपन है, काल्पनिक है, समझ से बाहर है। वे कहते हैं कि महिलाएं चूहों से डरती हैं - यह कितना तर्कहीन है?

प्राचीन काल में संख्याओं में एक आत्मा होती थी। प्रत्येक का कुछ मतलब था, प्रत्येक ने कुछ का प्रतीक किया, प्रत्येक ने ब्रह्मांड के उस सामंजस्य का एक कण प्रतिबिंबित किया, जो कि ग्रीक में, ब्रह्मांड है। "ब्रह्मांड" शब्द का अर्थ ही "आदेश, व्यवस्था" है। सबसे महत्वपूर्ण थे छह (पूर्ण संख्या) और दस, लगातार संख्याओं का योग 1+2+3+4, जो अन्य संख्याओं से बना है, जिसका प्रतीकवाद आज तक जीवित है। इसलिए पाइथागोरस ने सिखाया कि संख्याएँ हर चीज़ की शुरुआत और स्रोत हैं, और केवल खोज हैं तर्कहीन संख्या पाइथागोरस आंदोलन को ज्यामिति की ओर मोड़ दिया। हम स्कूल से इसका तर्क जानते हैं

√2 - अपरिमेय संख्या

मान लीजिए कि वहाँ है: और इस अंश को कम नहीं किया जा सकता है। विशेष रूप से, p और q दोनों विषम हैं। आइए इसका वर्ग करें: 2q²=p². संख्या p विषम नहीं हो सकती, तब से p² वही होगा, लेकिन समानता के बाईं ओर 2 का गुणज है। इसका मतलब है कि पी सम है, यानी पी = 2आर, जिसका मतलब है पी²= 4 वर्ष². आइए समीकरण 2q को कम करें²= 4 वर्ष² 2 से हमें q प्राप्त होता है²= 2 वर्ष² और हम देखते हैं कि q भी सम होना चाहिए, और हमने मान लिया कि यह नहीं है। परिणामी विरोधाभास प्रमाण को पूरा करता है - यह सूत्र प्राय: प्रत्येक गणितीय पुस्तक में पाया जा सकता है। यह परिस्थितिजन्य प्रमाण सोफिस्टों की पसंदीदा चाल है।

इस विशालता को पाइथागोरस द्वारा नहीं समझा जा सका। प्रत्येक चीज़ को संख्याओं द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए, और एक वर्ग का विकर्ण, जिसे कोई भी रेत में छड़ी के साथ खींच सकता है, उसकी कोई लंबाई नहीं है, अर्थात, मापने योग्य। पाइथागोरस कहते प्रतीत होते हैं, "हमारा विश्वास व्यर्थ था।" ऐसा कैसे? यह एक तरह से... तर्कहीन है। संघ ने सांप्रदायिक तरीकों से खुद को बचाने की कोशिश की। जो कोई भी अपने अस्तित्व को उजागर करने का साहस करता है तर्कहीन संख्या, को मौत की सज़ा दी जानी थी, और, जाहिर है, पहली सज़ा खुद गुरु ने दी थी।

लेकिन "विचार बिना किसी नुकसान के गुजर गया।" स्वर्ण युग आ गया है. यूनानियों ने फारसियों को हराया (मैराथन 490, प्लाचे 479)। लोकतंत्र मजबूत हुआ, दार्शनिक चिंतन के नए केंद्र और नए स्कूल उभरे। पाइथागोरसवाद के अनुयायी अभी भी अतार्किक संख्याओं से जूझ रहे थे। कुछ लोगों ने उपदेश दिया: हम इस रहस्य को नहीं समझेंगे; हम केवल इस पर विचार कर सकते हैं और अनचार्टड की प्रशंसा कर सकते हैं। उत्तरार्द्ध अधिक व्यावहारिक थे और रहस्य का सम्मान नहीं करते थे। उस समय, दो मानसिक संरचनाएँ सामने आईं जिससे अपरिमेय संख्याओं को समझना संभव हो गया। यह तथ्य कि आज हम उन्हें अच्छी तरह से समझते हैं, यूडोक्सस (XNUMXवीं शताब्दी ईसा पूर्व) से संबंधित है, और केवल XNUMXवीं शताब्दी के अंत में जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड ने सख्त गणितीय तर्क की आवश्यकताओं के अनुसार यूडोक्सस के सिद्धांत को उचित विकास दिया।

बहुत सारी संख्या या यातना

क्या आप बिना नंबर के रह सकते हैं? भले ही जीवन क्या होगा... हमें एक छड़ी से जूते खरीदने के लिए स्टोर जाना होगा, जिसे हम पहले पैर की लंबाई मापते थे। "मुझे सेब चाहिए, आह, यह रहा!" - हम विक्रेताओं को बाजार में दिखाएंगे। "मोदलिन से नोवी ड्वुर माजोविकी तक कितनी दूर है"? "बहुत करीब!"

मापने के लिए अंकों का प्रयोग किया जाता है। इनकी सहायता से हम और भी बहुत सी संकल्पनाओं को व्यक्त करते हैं। उदाहरण के लिए मानचित्र का पैमाना दर्शाता है कि देश का क्षेत्रफल कितना घट गया है। दो-से-एक पैमाना, या केवल 2, इस तथ्य को व्यक्त करता है कि कुछ आकार में दोगुना हो गया है। आइए गणितीय रूप से कहें: प्रत्येक समरूपता एक संख्या से मेल खाती है - इसका पैमाना।

कार्य. हमने छवि को कई गुना बड़ा करते हुए एक जेरोग्राफ़िक प्रतिलिपि बनाई। फिर बढ़े हुए टुकड़े को फिर से बी गुना बढ़ाया गया। सामान्य आवर्धन पैमाना क्या है? उत्तर: a × b को b से गुणा किया जाता है। इन पैमानों को गुणा करने की जरूरत है। संख्या शून्य से एक, -1, एक परिशुद्धता से मेल खाती है जो केन्द्रित है, अर्थात, 180 डिग्री का घूर्णन। 90 डिग्री घूर्णन से कौन सी संख्या मेल खाती है? ऐसी कोई संख्या नहीं है. यह है, यह है... या यों कहें, यह जल्द ही होगा। क्या आप मानसिक यातना के लिए तैयार हैं? साहसी बनो और शून्य से एक का वर्गमूल निकालो। मैं सुन रहा हूं? आप क्या नहीं कर सकते? आख़िरकार, मैंने तुमसे कहा था कि बहादुर बनो। बाहर निकालो इसे! अरे, ठीक है, खींचो, खींचो... मैं मदद करूंगा... यहां: −1 अब जब यह हमारे पास है, तो आइए इसका उपयोग करने का प्रयास करें... बेशक, अब हम सभी नकारात्मक संख्याओं की जड़ें ले सकते हैं, क्योंकि उदाहरण।:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"मानसिक पीड़ा की परवाह किए बिना यह आवश्यक है।" 1539 में गिरोलामो कार्डानो ने इससे जुड़ी मानसिक कठिनाइयों को दूर करने की कोशिश करते हुए लिखा था - जैसा कि जल्द ही कहा जाने लगा - काल्पनिक मात्राएँ. उसने ऐसा सोचा...

...कार्य. 10 को दो भागों में विभाजित करें, जिसका गुणनफल 40 है। मुझे याद है कि पिछली कड़ी से उन्होंने कुछ इस तरह लिखा था: निश्चित रूप से असंभव। हालाँकि, ऐसा करते हैं: 10 को दो समान भागों में विभाजित करें, प्रत्येक 5 के बराबर। उन्हें गुणा करें - यह 25 निकला। परिणामी 25 से, अब 40 घटाएँ, यदि आप चाहें, और आपको -15 मिलता है। अब देखें: √-15 को 5 से जोड़ने और घटाने पर आपको 40 का गुणनफल प्राप्त होता है। ये संख्याएं 5-√-15 और 5 + √-15 हैं। परिणाम का सत्यापन कार्डानो द्वारा निम्नानुसार किया गया था:

"दिल के दर्द के बावजूद यह 5 + √-15 को 5-√-15 से गुणा करता है। हमें 25 - (-15) मिलता है, जो 25 + 15 के बराबर है। तो, गुणनफल 40 है .... यह वाकई मुश्किल है।"

खैर, यह कितना है: (1 + √-1) (1-√-1)? आइए गुणा करें. याद रखें कि √-1 × √-1 = -1. महान। अब एक अधिक कठिन समस्या: a + b√-1 से ab√-1 तक। क्या हुआ? बेशक, इस तरह: (ए + बी√-1) (एबी√-1) = ए²+b²

इसमें इतना दिलचस्प क्या है? उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि हम उन अभिव्यक्तियों को कारक बना सकते हैं जिन्हें हम "पहले नहीं जानते थे।" के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्र²-b² शायद आपको इसका फॉर्मूला याद होगा²+b² ऐसा नहीं हुआ क्योंकि ऐसा नहीं हो सका। वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में, बहुपद²+b² यह अपरिहार्य है. आइए हम "ऋण एक" के "हमारे" वर्गमूल को अक्षर i से निरूपित करें।²= -1. यह एक "अवास्तविक" अभाज्य संख्या है. और यही एक विमान के 90 डिग्री घूमने का वर्णन करता है। क्यों? आख़िरकार,²= -1, और एक 90-डिग्री रोटेशन और दूसरा 180-डिग्री रोटेशन के संयोजन से 45-डिग्री रोटेशन मिलता है। किस प्रकार के घूर्णन का वर्णन किया जा रहा है? जाहिर है XNUMX डिग्री का मोड़। -आई का क्या मतलब है? यह थोड़ा और जटिल है:

(-मैं)² = -i × (-i) = + i² = -1

तो -i 90 डिग्री घूर्णन का भी वर्णन करता है, i के घूर्णन के ठीक विपरीत दिशा में। कौन सा बायां है और कौन सा दायां है? आपको अपॉइंटमेंट अवश्य लेना चाहिए. हम मानते हैं कि संख्या i उस दिशा में घूर्णन निर्दिष्ट करती है जिसे गणितज्ञ सकारात्मक मानते हैं: वामावर्त। संख्या -i उस दिशा में घूर्णन का वर्णन करती है जिस दिशा में सूचक घूम रहे हैं।

लेकिन क्या i और -i जैसी संख्याएँ हैं? हैं! हमने बस उन्हें जीवंत कर दिया। मैं सुन रहा हूं? कि वे केवल हमारे दिमाग में ही मौजूद हैं? खैर क्या उम्मीद करें? बाकी सभी नंबर भी हमारे दिमाग में ही मौजूद होते हैं। हमें यह देखने की जरूरत है कि क्या हमारे नवजात शिशु जीवित रहेंगे। अधिक सटीक रूप से, क्या डिज़ाइन तार्किक है और क्या वे किसी चीज़ के लिए उपयोगी होंगे? कृपया मेरी बात मानें कि सब कुछ ठीक है और ये नए नंबर वास्तव में मददगार हैं। 3+i, 5-7i जैसी संख्याएँ, अधिक सामान्य रूप में: a+bi को सम्मिश्र संख्याएँ कहा जाता है। मैंने आपको दिखाया कि आप विमान को घुमाकर उन्हें कैसे प्राप्त कर सकते हैं। उन्हें अलग-अलग तरीकों से दर्ज किया जा सकता है: एक विमान के बिंदुओं के रूप में, कुछ बहुपदों के रूप में, कुछ संख्यात्मक सरणियों के रूप में... और हर बार वे समान होते हैं: समीकरण x² +1=0 कोई तत्व नहीं है... hocus pocus पहले से मौजूद है!!!! आइए आनन्द मनाएँ और आनन्द मनाएँ!!!

दौरे का अंत

यह नकली संख्याओं की भूमि का हमारा पहला दौरा समाप्त करता है। अन्य अलौकिक संख्याओं में से, मैं उन संख्याओं का भी उल्लेख करूंगा जिनके आगे अनंत अंक हैं और पीछे नहीं (उन्हें 10-एडिक कहा जाता है, हमारे लिए पी-एडिक अधिक महत्वपूर्ण हैं, जहां पी एक अभाज्य संख्या है), उदाहरण के लिए एक्स = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

आइए कृपया एक्स की गिनती करें². क्योंकि? यदि हम किसी ऐसी संख्या के वर्ग की गणना करें जिसके पीछे अनंत अंक हों तो क्या होगा? खैर, चलिए ऐसा ही करते हैं। आइए जानें कि एक्स² = एच.

आइए एक और ऐसी संख्या खोजें जिसके सामने अनंत संख्या में अंक हों जो समीकरण को संतुष्ट करता हो। संकेत: किसी संख्या का वर्ग जो छह में समाप्त होता है वह भी छह में समाप्त होता है। 76 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग भी 76 पर समाप्त होता है। 376 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग भी 376 पर समाप्त होता है। 9376 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग भी 9376 पर समाप्त होता है। XNUMX पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग... ऐसी संख्याएँ भी हैं जो इतनी छोटी हैं कि, सकारात्मक होने के बावजूद, वे किसी भी अन्य सकारात्मक संख्या से छोटी रहती हैं। वे इतने छोटे होते हैं कि कभी-कभी शून्य पाने के लिए उन्हें वर्गाकार करना ही काफी होता है। ऐसी संख्याएँ हैं जो शर्त a × b = b × a को पूरा नहीं करती हैं। अनंत संख्याएं भी हैं. प्राकृतिक संख्याएँ कितनी हैं? असीम रूप से अनेक? हाँ, लेकिन कितना? इसे किस संख्या में व्यक्त किया जा सकता है? उत्तर: अनंत संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या; इसे एक सुंदर अक्षर ए से चिह्नित किया गया है और शून्य सूचकांक ए के साथ पूरक किया गया है₀ , एलेफ़-शून्य।

ऐसी संख्याएँ भी हैं जिनके अस्तित्व के बारे में हम नहीं जानते... या जिन पर हम आपकी इच्छानुसार विश्वास कर सकते हैं या नहीं कर सकते हैं। और इसके बारे में बोलते हुए: मुझे आशा है कि आपको अभी भी अवास्तविक संख्याएं, काल्पनिक प्रजाति संख्याएं पसंद आएंगी।