जटिल व्यवहार यानी अराजकता वाले सरल मॉडल
कंप्यूटर एक ऐसा उपकरण है जिसका उपयोग वैज्ञानिकों द्वारा प्रकृति द्वारा सावधानीपूर्वक छिपाए गए रहस्यों को उजागर करने के लिए किया जा रहा है। प्रयोग और सिद्धांत के साथ-साथ मॉडलिंग, दुनिया का अध्ययन करने का तीसरा तरीका बनता जा रहा है।
तीन साल पहले, सिलेसिया विश्वविद्यालय में, हमने शिक्षा में कंप्यूटर विधियों को एकीकृत करने के लिए एक कार्यक्रम शुरू किया था। परिणामस्वरूप, बहुत सारी बेहद रोमांचक उपदेशात्मक सामग्री तैयार की गई है, जिससे कई विषयों का अध्ययन करना आसान और गहरा हो गया है। पायथन को मुख्य उपकरण के रूप में चुना गया था, जो उपलब्ध वैज्ञानिक पुस्तकालयों की शक्ति के साथ, समीकरणों, छवियों या डेटा के साथ "कंप्यूटर प्रयोगों" के लिए संभवतः सबसे अच्छा समाधान है। संपूर्ण कार्यक्षेत्र के सबसे दिलचस्प कार्यान्वयनों में से एक सेज [2] है। यह पायथन भाषा के साथ कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली का एक खुला एकीकरण है, और आपको वेब ब्राउज़र और क्लाउड सेवा [3] या एकल कंप्यूटिंग सर्वर के माध्यम से संभावित एक्सेस विकल्पों में से एक का उपयोग करके तुरंत खेलना शुरू करने की अनुमति देता है, जिस पर इंटरैक्टिव इस लेख का संस्करण [4] पर आधारित है।
पारिस्थितिकी में अराजकता
ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय में पहले वर्षों में, ऑस्ट्रेलियाई वैज्ञानिक रॉबर्ट मे ने जनसांख्यिकीय गतिशीलता के सैद्धांतिक पहलुओं का अध्ययन किया। उन्होंने अपने काम का सारांश एक पेपर में दिया जो नेचर पत्रिका में उत्तेजक शीर्षक "बहुत जटिल गतिशीलता के साथ सरल गणितीय मॉडल" [1] के तहत छपा। पिछले कुछ वर्षों में, यह लेख सैद्धांतिक पारिस्थितिकी में सबसे अधिक उद्धृत कार्यों में से एक बन गया है। इस कार्य में इतनी रुचि किस कारण हुई?
जनसंख्या गतिशीलता की शास्त्रीय समस्या किसी विशेष प्रजाति की वर्तमान स्थिति को देखते हुए उसकी भविष्य की जनसंख्या की गणना करना है। गणितीय रूप से, पारिस्थितिक तंत्र को सबसे सरल माना जाता था जिसमें आबादी की एक पीढ़ी का जीवन एक सीज़न तक चलता है। एक अच्छा उदाहरण कीड़ों की आबादी है जो एक मौसम में पूरी तरह से कायापलट से गुजरती है, जैसे तितलियाँ। समय को स्वाभाविक रूप से जनसंख्या के जीवन चक्र के अनुरूप अलग-अलग अवधियों2 में विभाजित किया गया है। इस प्रकार, ऐसे पारिस्थितिकी तंत्र का वर्णन करने वाले समीकरण स्वाभाविक रूप से तथाकथित हैं असतत समय, यानी टी = 1,2,3... रॉबर्ट मे ने अन्य बातों के अलावा, ऐसी गतिशीलता से निपटा। अपने तर्क में, उन्होंने पारिस्थितिकी तंत्र को एक ही प्रजाति तक सरल बना दिया, जिसकी जनसंख्या पिछले वर्ष की जनसंख्या का एक द्विघात कार्य थी। यह मॉडल कहां से आया?
जनसंख्या के विकास का वर्णन करने वाला सबसे सरल असतत समीकरण एक रैखिक मॉडल है:
जहां Ni i-वें सीज़न में बहुतायत है, और Ni + 1 अगले सीज़न में जनसंख्या का वर्णन करता है। यह देखना आसान है कि ऐसा समीकरण तीन परिदृश्यों को जन्म दे सकता है। जब a = 1, विकास से जनसंख्या का आकार नहीं बदलेगा, और <1 विलुप्ति की ओर ले जाएगा, और मामले a > 1 का अर्थ है असीमित जनसंख्या वृद्धि। इससे प्रकृति में असंतुलन पैदा होगा। चूँकि प्रकृति में सब कुछ सीमित है, इसलिए संसाधनों की सीमित मात्रा को ध्यान में रखते हुए इस समीकरण को समायोजित करना समझ में आता है। कल्पना कीजिए कि कीट अनाज खाते हैं, जो हर साल बिल्कुल वैसा ही होता है। यदि भोजन की मात्रा की तुलना में कीड़े कम हैं, तो वे पूर्ण प्रजनन शक्ति पर प्रजनन कर सकते हैं, गणितीय रूप से स्थिरांक ए > 1 द्वारा निर्धारित किया जाता है। हालांकि, जैसे-जैसे कीटों की संख्या बढ़ती है, भोजन दुर्लभ हो जाएगा और प्रजनन क्षमता कम हो जाएगी। एक गंभीर मामले में, कोई कल्पना कर सकता है कि इतने सारे कीड़े पैदा होते हैं कि प्रजनन का समय मिलने से पहले ही वे सारा अनाज खा जाते हैं, और आबादी मर जाती है। भोजन तक सीमित पहुंच के इस प्रभाव को ध्यान में रखने वाला एक मॉडल पहली बार 1838 में वेरहल्स्ट द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इस मॉडल में, विकास दर स्थिर नहीं है, बल्कि जनसंख्या की स्थिति पर निर्भर करती है:
विकास दर ए और नी के बीच संबंध में निम्नलिखित संपत्ति होनी चाहिए: यदि जनसंख्या बढ़ती है, तो विकास दर घटनी चाहिए क्योंकि भोजन तक पहुंच मुश्किल है। निःसंदेह, इस संपत्ति के साथ कई कार्य हैं: ये ऊपर से नीचे तक के कार्य हैं। वेरहल्स्ट ने निम्नलिखित संबंध प्रस्तावित किया:
जहां a>0 और स्थिरांक K>0 खाद्य संसाधनों की विशेषता बताते हैं और इन्हें पर्यावरण की क्षमता कहा जाता है। K में परिवर्तन जनसंख्या वृद्धि दर को कैसे प्रभावित करता है? यदि K बढ़ता है, तो Ni/K घटता है। बदले में, यह इस तथ्य की ओर ले जाता है कि 1-Ni/K बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि यह बढ़ता है। इसका मतलब है कि विकास दर बढ़ रही है और जनसंख्या तेजी से बढ़ रही है। तो चलिए पिछले मॉडल (1) को संशोधित करते हैं, यह मानते हुए कि विकास दर समीकरण (3) के अनुसार बदलती है। तब हमें समीकरण मिलता है
इस समीकरण को पुनरावर्ती समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है
जहां xi = Ni / K और xi + 1 = Ni + 1 / K समय i और समय i + 1 में पुनर्स्केल की गई आबादी को दर्शाते हैं। समीकरण (5) को लॉजिस्टिक समीकरण कहा जाता है।
ऐसा लग सकता है कि इतने छोटे संशोधन के साथ, हमारे मॉडल का विश्लेषण करना आसान है। चलो पता करते हैं। प्रारंभिक जनसंख्या x5 = 0.5 से शुरू करके पैरामीटर a = 0 के लिए समीकरण (0.45) पर विचार करें। पुनरावर्ती समीकरण (5) का उपयोग करके अनुक्रमिक जनसंख्या मान प्राप्त किया जा सकता है:
x1= कुल्हाड़ी0(1 पी0)
x2= कुल्हाड़ी1(1 पी1)
x3= कुल्हाड़ी2(1 पी2)
(6) में गणना की सुविधा के लिए, हम निम्नलिखित प्रोग्राम का उपयोग कर सकते हैं (यह पायथन में लिखा गया है और इसे अन्य चीजों के अलावा, सेज प्लेटफॉर्म पर चलाया जा सकता है। हम अनुशंसा करते हैं कि आप http://icse.us.edu पुस्तक पढ़ें .pl/e-book . ), हमारे मॉडल की नकल करते हुए:
एक = 0.5 x = 0.45 मेरे लिए रेंज में (10): एक्स = ए * एक्स * (1-एक्स) एक्स प्रिंट करें
हम xi के क्रमिक मानों की गणना करते हैं और देखते हैं कि वे शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं। उपरोक्त कोड के साथ प्रयोग करके, यह देखना भी आसान है कि x0 के प्रारंभिक मान की परवाह किए बिना यह सत्य है। इसका मतलब यह है कि जनसंख्या लगातार मर रही है।
विश्लेषण के दूसरे चरण में, हम पैरामीटर a के मान को रेंज ae (1,3) में किसी भी मान तक बढ़ाते हैं। इससे पता चलता है कि तब अनुक्रम xi एक निश्चित मात्रा x * > 0 पर चला जाता है। पारिस्थितिकी के दृष्टिकोण से इसकी व्याख्या करते हुए, हम कह सकते हैं कि जनसंख्या का आकार एक निश्चित स्तर पर तय होता है, जो हर मौसम में नहीं बदलता है . यह ध्यान देने योग्य है कि x * का मान प्रारंभिक अवस्था x0 पर निर्भर नहीं करता है। यह पारिस्थितिकी तंत्र के स्थिरीकरण के प्रयास का प्रभाव है - जनसंख्या अपने आकार को खुद को खिलाने की क्षमता के अनुसार समायोजित करती है। गणितीय रूप से, यह कहा जाता है कि प्रणाली एक स्थिर निश्चित बिंदु की ओर प्रवृत्त होती है, अर्थात। समानता x = f(x) को संतुष्ट करना (इसका मतलब है कि अगले क्षण स्थिति पिछले क्षण जैसी ही है)। सेज के साथ, हम समय के साथ जनसंख्या की साजिश रचकर इस विकास को ग्राफिक रूप से देख सकते हैं।
शोधकर्ताओं द्वारा इस तरह के स्थिरीकरण प्रभाव की उम्मीद की गई थी, और अगर यह आश्चर्य की बात नहीं होती तो लॉजिस्टिक समीकरण (5) ने ज्यादा ध्यान आकर्षित नहीं किया होता। यह पता चला कि पैरामीटर के कुछ मानों के लिए, मॉडल (5) अप्रत्याशित तरीके से व्यवहार करता है। सबसे पहले, आवधिक और बहुआवधिक अवस्थाएँ हैं। दूसरे, प्रत्येक समय कदम के साथ, जनसंख्या एक यादृच्छिक आंदोलन की तरह, असमान रूप से बदलती है। तीसरा, प्रारंभिक स्थितियों के प्रति बहुत संवेदनशीलता है: दो लगभग अप्रभेद्य प्रारंभिक स्थितियां पूरी तरह से अलग जनसंख्या विकास की ओर ले जाती हैं। ये सभी विशेषताएं व्यवहार की विशेषता हैं जो पूरी तरह से यादृच्छिक आंदोलन से मिलती जुलती हैं और इसे नियतात्मक अराजकता कहा जाता है।
आइए इस संपत्ति का अन्वेषण करें!
सबसे पहले, आइए पैरामीटर का मान a = 3.2 सेट करें और विकास को देखें। यह आश्चर्यजनक लग सकता है कि इस बार जनसंख्या एक नहीं, बल्कि दो मूल्यों तक पहुँचती है, जो हर दूसरे सीज़न में लगातार होती है। हालाँकि, यह पता चला कि समस्याएँ यहीं समाप्त नहीं हुईं। ए = 4 के साथ, सिस्टम अब पूर्वानुमानित नहीं है। आइए चित्र (2) को देखें या हम स्वयं कंप्यूटर का उपयोग करके संख्याओं का एक क्रम तैयार करेंगे। परिणाम पूरी तरह से यादृच्छिक प्रतीत होते हैं और थोड़ी अलग शुरुआती आबादी के लिए काफी भिन्न होते हैं। हालाँकि, चौकस पाठक को आपत्ति अवश्य होनी चाहिए। नियतिवादी समीकरण1 द्वारा वर्णित एक प्रणाली, यहां तक कि एक बहुत ही सरल प्रणाली, अप्रत्याशित रूप से कैसे व्यवहार कर सकती है? हां, हो सकता है।
इस प्रणाली की एक विशेषता प्रारंभिक स्थितियों के प्रति इसकी उल्लेखनीय संवेदनशीलता है। यह दो प्रारंभिक स्थितियों के दस लाखवें अंतर से शुरू करने के लिए पर्याप्त है, और कुछ ही चरणों में हमें पूरी तरह से अलग जनसंख्या मान मिलेंगे। आइए कंप्यूटर पर जाँचें:
ए = 4.0
x = 0.123 यू=0.123+0.000001 पीकेसी = [] मेरे लिए रेंज में (25): x = a*x*(1-x) यू = ए*यू*(1-यू) एक्स, वाई प्रिंट करें
यहाँ नियतिवादी विकास का एक सरल मॉडल है। लेकिन यह नियतिवाद भ्रामक है, यह सिर्फ गणितीय नियतिवाद है। व्यावहारिक दृष्टिकोण से, सिस्टम अप्रत्याशित रूप से व्यवहार करता है क्योंकि हम कभी भी प्रारंभिक स्थितियों को गणितीय रूप से सटीक रूप से निर्धारित नहीं कर सकते हैं। वास्तव में, सब कुछ एक निश्चित सटीकता के साथ निर्धारित किया जाता है: प्रत्येक मापने वाले उपकरण में एक निश्चित सटीकता होती है, और यह नियति प्रणालियों में व्यावहारिक अप्रत्याशितता पैदा कर सकता है जिसमें अराजकता की संपत्ति होती है। इसका एक उदाहरण मौसम पूर्वानुमान मॉडल है, जो हमेशा अराजकता का गुण प्रदर्शित करता है। यही कारण है कि दीर्घकालिक मौसम पूर्वानुमान इतने ख़राब होते हैं।
अराजक प्रणालियों का विश्लेषण अत्यंत कठिन है। हालाँकि, हम कंप्यूटर सिमुलेशन की मदद से अराजकता के कई रहस्यों को आसानी से सुलझा सकते हैं। आइए हम तथाकथित द्विभाजन आरेख बनाते हैं, जिस पर हम एब्सिस्सा अक्ष के साथ पैरामीटर के मान और ऑर्डिनेट अक्ष के साथ लॉजिस्टिक मैपिंग के स्थिर निश्चित बिंदुओं को रखते हैं। हम एक साथ बड़ी संख्या में सिस्टम का अनुकरण करके और कई नमूना समय के बाद मान प्लॉट करके स्थिर अंक प्राप्त करते हैं। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, इसके लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है। आइए निम्नलिखित मानों को "सावधानीपूर्वक" संसाधित करने का प्रयास करें:
एनपी के रूप में सुन्न आयात करें एनएक्स = 300 वह = 500 एक्स = एनपी.लिनस्पेस (0,1, एनएक्स) एक्स = एक्स + एनपी.शून्य ((ना, एनएक्स)) एच = एनपी.ट्रांसपोज़ (एच) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.शून्य((Nx,Na)) मेरे लिए रेंज में (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] a_,x_ in के लिए ज़िप(a.flatten(),x.flatten())] बिंदु (पीटी, आकार = 1, अंजीर का आकार = (7,5))
हमें चित्र (3) के समान कुछ मिलना चाहिए। इस चित्र की व्याख्या कैसे करें? उदाहरण के लिए, पैरामीटर a = 3.3 के मान के साथ, हमारे पास 2 स्थिर निश्चित बिंदु हैं (जनसंख्या का आकार हर दूसरे सीज़न में समान है)। हालाँकि, पैरामीटर a = 3.5 के लिए हमारे पास 4 स्थिर बिंदु हैं (प्रत्येक चौथे सीज़न में जनसंख्या का आकार समान होता है), और पैरामीटर a = 3.56 के लिए हमारे पास 8 स्थिर बिंदु होते हैं (प्रत्येक आठवें सीज़न में जनसंख्या का आकार समान होता है)। लेकिन पैरामीटर a≈3.57 के लिए, हमारे पास असीम रूप से कई निश्चित बिंदु हैं (जनसंख्या का आकार कभी नहीं दोहराया जाता है और अप्रत्याशित तरीकों से बदलता है)। हालाँकि, एक कंप्यूटर प्रोग्राम के साथ, हम पैरामीटर a का दायरा बदल सकते हैं और अपने हाथों से इस आरेख की अनंत ज्यामितीय संरचना का पता लगा सकते हैं।
यह केवल एक ऊपरी हिस्सा है। इस समीकरण के बारे में हजारों वैज्ञानिक पत्र लिखे गए हैं, लेकिन यह अभी भी अपने रहस्य छुपाता है। कंप्यूटर सिमुलेशन की मदद से, आप उच्च गणित का सहारा लिए बिना भी, गैर-रेखीय गतिशीलता की दुनिया के अग्रणी की भूमिका निभा सकते हैं। हम आपको लॉजिस्टिक समीकरण के कई दिलचस्प गुणों और उन्हें देखने के दिलचस्प तरीकों के विवरण वाले ऑनलाइन संस्करण को पढ़ने के लिए आमंत्रित करते हैं।
1 नियतिवादी कानून एक ऐसा कानून है जिसमें भविष्य प्रारंभिक अवस्था द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। विलोम शब्द संभाव्य नियम है। 2 गणित में, "असतत" का अर्थ एक निश्चित गणनीय सेट से मान प्राप्त करना है। इसका विपरीत "निरंतर" है।
