हम शून्य से भाग क्यों नहीं देते?

पाठकों को आश्चर्य हो सकता है कि मैंने एक पूरा लेख ऐसे साधारण मुद्दे पर क्यों समर्पित किया? इसका कारण नाम के तहत लापरवाही से ऑपरेशन करने वाले छात्रों (!) की चौंका देने वाली संख्या है। और केवल छात्र ही नहीं. कभी-कभी मैं शिक्षकों को भी पकड़ लेता हूं। ऐसे शिक्षकों के छात्र गणित में क्या कर पाएंगे? इस पाठ को लिखने का तात्कालिक कारण एक शिक्षक के साथ बातचीत थी जिसके लिए शून्य से भाग देना कोई समस्या नहीं थी...

शून्य के साथ, हाँ, किसी भी चीज़ की परेशानी को छोड़कर, क्योंकि हमें वास्तव में इसे रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। हम शून्य अंडों की खरीदारी के लिए नहीं जाते। "कमरे में एक व्यक्ति है" कुछ हद तक स्वाभाविक लगता है, और "शून्य लोग" कृत्रिम लगता है। भाषाविदों का कहना है कि शून्य भाषा प्रणाली से बाहर है।

हम बैंक खातों में शून्य के बिना भी कर सकते हैं: बस उपयोग करें - जैसे थर्मामीटर पर - सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के लिए लाल और नीला (ध्यान दें कि तापमान के लिए सकारात्मक संख्याओं के लिए लाल रंग का उपयोग करना स्वाभाविक है, और बैंक खातों के लिए यह इसका दूसरा तरीका है, क्योंकि डेबिट को एक चेतावनी ट्रिगर करनी चाहिए, इसलिए लाल रंग की अत्यधिक अनुशंसा की जाती है)।

शून्य को एक प्राकृतिक संख्या के रूप में शामिल करके, हम विभेदन की समस्या को छूते हैं गणन संख्या od गृहस्थी. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,….. के अन्दर

संख्या की शक्ति उस स्थान की संख्या के समान होती है जहां वह खड़ा होता है। अन्यथा, यह पहले से ही क्रम 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. में है।

सिंगलटन सेट की संख्या दूसरे स्थान पर आती है, दो तत्वों वाले सेट की संख्या तीसरी आती है, और इसी तरह। हमें यह स्पष्ट करना होगा कि क्यों, उदाहरण के लिए, हम प्रतियोगिताओं में एथलीटों के स्थानों को शून्य से क्रमांकित नहीं करते हैं। फिर पहले स्थान के विजेता को एक रजत पदक प्राप्त होगा (शून्य स्थान के विजेता को स्वर्ण मिला), और इसी तरह। फुटबॉल में कुछ इसी तरह की प्रक्रिया का उपयोग किया गया था - मुझे नहीं पता कि क्या पाठक जानते हैं कि "लीग वन" का अर्थ है " सर्वश्रेष्ठ का अनुसरण करना।" ", और शून्य लीग को" प्रमुख लीग "बनने के लिए कहा जाता है।

कभी-कभी हम यह तर्क सुनते हैं कि हमें खरोंच से शुरू करने की आवश्यकता है, क्योंकि यह आईटी लोगों के लिए सुविधाजनक है। इन विचारों को जारी रखते हुए, एक किलोमीटर की परिभाषा को बदलना चाहिए - यह 1024 मीटर होना चाहिए, क्योंकि यह एक किलोबाइट में बाइट्स की संख्या है (मैं कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए जाने जाने वाले एक चुटकुला का उल्लेख करूंगा: "एक नए और नए व्यक्ति के बीच क्या अंतर है?" कंप्यूटर विज्ञान का छात्र और इस संकाय के पांचवें वर्ष का छात्र? कि एक किलोबाइट 1000 किलोबाइट है, अंतिम - कि एक किलोमीटर 1024 मीटर है")!

एक और दृष्टिकोण, जिसे पहले से ही गंभीरता से लिया जाना चाहिए, वह यह है: हम हमेशा शुरुआत से मापते हैं! यह रूलर पर, घरेलू तराजू पर, यहां तक ​​कि घड़ी पर भी किसी भी पैमाने को देखने के लिए पर्याप्त है। चूँकि हम शून्य से मापते हैं, और गिनती को एक आयामहीन इकाई के साथ माप के रूप में समझा जा सकता है, तो हमें शून्य से गिनती करनी चाहिए।

यह एक साधारण बात है, लेकिन...

आइए सामान्य तर्क को छोड़ दें और शून्य से विभाजन पर लौटें। मामला सरल है और यह सरल होगा यदि यह नहीं होता ... तो क्या? आइए सोचें और प्रयास करें। यह कितना हो सकता है - एक को शून्य से भाग देने पर? आइए देखें: 1/0 = x। दोनों पक्षों को बाईं ओर के हर से गुणा करें।

हमें 1=0 मिलता है। क्या वहाँ कुछ गड़बड़ है! क्या हुआ है? अहा अनुमान! यह धारणा कि एकता और शून्य का भागफल है, विरोधाभास की ओर ले जाती है। और यदि एक को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता तो दूसरी संख्या से विभाजित किया जा सकता है। यदि, पाठक, आप अपने कंधे उचकाते हैं और आश्चर्य करते हैं कि लेखक (अर्थात, मैं) ऐसी तुच्छ बातों के बारे में क्यों लिखता हूं, तो... मुझे बहुत खुशी होगी!

सूत्र 0/0 = 0 का जिद्दी आधार पर बचाव किया जा सकता है, लेकिन यह इस नियम का खंडन करता है कि किसी संख्या को स्वयं से विभाजित करने का परिणाम एक के बराबर होता है। बिल्कुल, लेकिन कैलकुलस में 0/0, °/° और इसी तरह के प्रतीक काफी भिन्न हैं। उनका मतलब किसी संख्या से नहीं है, बल्कि वे कुछ प्रकार के विशेष अनुक्रमों के लिए प्रतीकात्मक पदनाम हैं।

एक इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग पुस्तक में, मुझे एक दिलचस्प तुलना मिली: शून्य से विभाजित करना उच्च वोल्टेज बिजली जितना ही खतरनाक है। यह सामान्य है: ओम का नियम बताता है कि वोल्टेज और प्रतिरोध का अनुपात वर्तमान के बराबर है: वी = यू / आर। यदि प्रतिरोध शून्य होता, तो सैद्धांतिक रूप से अनंत धारा कंडक्टर के माध्यम से प्रवाहित होती, जिससे सभी संभावित कंडक्टर जल जाते।

मैंने एक बार सप्ताह के प्रत्येक दिन को शून्य से विभाजित करने के खतरों के बारे में एक कविता लिखी थी। मुझे याद है कि सबसे नाटकीय दिन गुरुवार था, लेकिन इस क्षेत्र में मेरे सारे काम के लिए यह अफ़सोस की बात है।

जब आप किसी चीज़ को शून्य से विभाजित करते हैं

सोमवार बहुत जल्दी

सप्ताह अभी क्या हुआ

आप पहले ही बुरी तरह असफल हो चुके हैं।

जब मंगलवार की दोपहर

आप हर में शून्य डाल देते हैं

फिर मैं तुम्हें बताऊंगा, तुम गलत हो

ख़राब गणितज्ञ!

जब शून्य के माध्यम से, विकृति के माध्यम से,

बुधवार को बंटवारा करना चाहते हैं

तुम्हें बहुत परेशानी होगी

आपके सिर में घास और पानी है!

एक निश्चित बार्टेक हमारे साथ था।

वह नियमों के विपरीत था।

गुरूवार को यह शून्य से विभाज्य है.

वह अब हमारे बीच नहीं है!

अगर कोई अजीब चाहत आप पर हावी हो जाए

शुक्रवार को शून्य से भाग दें

मैं ईमानदार रहूँगा, मैं ईमानदार रहूँगा:

इस सप्ताहांत की ख़राब शुरुआत।

जब यह शून्य हो, तो शनिवार को कहीं

डिवाइडर आपका होगा (बोल्ड नहीं)

चर्च की बाड़ के नीचे घुटने टेकें।

यह आपका पुनरुत्थान है.

क्या आप डैश के नीचे शून्य चाहते हैं,

रविवार को छुट्टी करो

चॉक, ब्लैक बोर्ड लाओ.

लिखें: यह शून्य से विभाज्य नहीं है!

शून्य का संबंध शून्यता और शून्यता से है। दरअसल, वह गणित में एक ऐसी मात्रा के रूप में आए थे, जिसे किसी में जोड़ने पर कोई परिवर्तन नहीं होता: x + 0 = x। लेकिन अब शून्य कई अन्य मूल्यों में दिखाई देता है, विशेष रूप से स्केल प्रारंभ. यदि खिड़की के बाहर कोई सकारात्मक तापमान या ठंढ नहीं है, तो ... यह शून्य है, जिसका अर्थ यह नहीं है कि तापमान बिल्कुल नहीं है। एक शून्य-श्रेणी स्मारक वह नहीं है जिसे लंबे समय से ध्वस्त कर दिया गया है और बस अस्तित्व में नहीं है। इसके विपरीत, यह वावेल, एफिल टॉवर और स्टैच्यू ऑफ लिबर्टी जैसा कुछ है।

खैर, एक स्थितीय प्रणाली में शून्य के महत्व को शायद ही कम करके आंका जा सकता है। क्या आप जानते हैं पाठक, बिल गेट्स के बैंक खाते में कितने शून्य हैं? मैं नहीं जानता, लेकिन मुझे आधा चाहिए। जाहिर है, नेपोलियन बोनापार्ट ने देखा कि लोग शून्य की तरह हैं: वे स्थिति के माध्यम से अर्थ प्राप्त करते हैं। आंद्रेज वाजदा की फिल्म एज़ द इयर्स, एज़ द डेज़ गो बाय में, भावुक कलाकार जेरज़ी फूट पड़ते हैं: "परमेश्वर शून्य, शून्य, कुछ भी नहीं, कुछ भी नहीं, शून्य, शून्य है।" लेकिन शून्य अच्छा हो सकता है: "मानदंड से शून्य विचलन" का मतलब है कि सब कुछ ठीक चल रहा है, और इसे जारी रखें!

चलिए गणित पर वापस आते हैं। शून्य को बिना किसी दण्ड के जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है। मान्या अन्या से कहती है, ''मेरा वज़न शून्य किलोग्राम बढ़ गया।'' "और यह दिलचस्प है, क्योंकि मैंने उतना ही वजन कम किया है," आन्या जवाब देती है। तो आइए छह बार आइसक्रीम की छह शून्य सर्विंग खाएं, इससे हमें कोई नुकसान नहीं होगा।

हम शून्य से भाग नहीं दे सकते, लेकिन हम शून्य से भाग दे सकते हैं। जो लोग भोजन की प्रतीक्षा कर रहे हैं उन्हें शून्य पकौड़ी की एक प्लेट आसानी से दी जा सकती है। प्रत्येक को कितना मिलेगा?

शून्य सकारात्मक या नकारात्मक नहीं है. यह और संख्या गैर सकारात्मकи गैर नकारात्मक. यह असमानताओं x≥0 और x≤0 को संतुष्ट करता है। विरोधाभास "कुछ सकारात्मक" "कुछ नकारात्मक" नहीं है, बल्कि "कुछ नकारात्मक या शून्य के बराबर" है। गणितज्ञ, भाषा के नियमों के विपरीत, हमेशा कहेंगे कि कुछ "शून्य के बराबर" है न कि "शून्य"। इस अभ्यास को उचित ठहराने के लिए, हमारे पास है: यदि हम सूत्र x = 0 "x शून्य है" पढ़ते हैं, तो x = 1 हम पढ़ते हैं "x एक के बराबर है", जिसे निगल लिया जा सकता है, लेकिन "x = 1534267" के बारे में क्या? आप वर्ण 0 को कोई संख्यात्मक मान भी निर्दिष्ट नहीं कर सकते⁰न ही शून्य को ऋणात्मक घात तक बढ़ाएँ। दूसरी ओर, आप अपनी इच्छानुसार शून्य को रूट कर सकते हैं... और परिणाम हमेशा शून्य ही रहेगा। 

घातांकीय फलन y = a^x, a का धनात्मक आधार कभी शून्य नहीं होता। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कोई शून्य लघुगणक नहीं है। वास्तव में, a से आधार b का लघुगणक वह घातांक है जिसके आधार को a का लघुगणक प्राप्त करने के लिए ऊपर उठाया जाना चाहिए। a = 0 के लिए, ऐसा कोई संकेतक नहीं है, और शून्य लघुगणक का आधार नहीं हो सकता है। हालाँकि, न्यूटन के प्रतीक के "हर" में शून्य कुछ और है। हम मानते हैं कि इन सम्मेलनों से कोई विरोधाभास पैदा नहीं होता।

झूठे सबूत

झूठे प्रमाणों के लिए शून्य से विभाजन एक सामान्य विषय है, और यह अनुभवी गणितज्ञों के लिए भी होता है। मैं आपको अपने दो पसंदीदा उदाहरण देता हूँ। पहला बीजगणितीय है। मैं "साबित" करूँगा कि सभी संख्याएँ समान हैं। मान लीजिए कि दो संख्याएँ समान नहीं हैं। इसलिए, उनमें से एक दूसरे से बड़ा है, मान लीजिए a > b। आइए मान लें कि c उनका अंतर है

सी \uXNUMXd ए - बी। तो हमारे पास a - b = c है, जहाँ a = b + c है।

हम बाद के दोनों हिस्सों को a - b से गुणा करते हैं:

a² - एबी = एबी + एसी - बी2 - बीसी।

मैं बाईं ओर ak का अनुवाद करता हूं, निश्चित रूप से मुझे संकेत बदलने के बारे में याद है:

a² - एबी - एसी = एबी - बी2 - बीसी।

मैं सामान्य कारकों को बाहर करता हूं:

ए (ए-बी-सी) = बी (ए-बी-सी),

मैं साझा करता हूं और जो मैं चाहता था वह मेरे पास है:

ए = बी.

और वास्तव में और भी अजीब, क्योंकि मैंने मान लिया था कि a > b, और मुझे वह मिला a = b। यदि उपरोक्त उदाहरण में "धोखाधड़ी" को पहचानना आसान है, तो नीचे दिए गए ज्यामितीय प्रमाण में यह इतना आसान नहीं है। मैं यह साबित कर दूँगा कि... समलंब का अस्तित्व नहीं है। आमतौर पर ट्रेपेज़ॉइड कहलाने वाली आकृति मौजूद नहीं है।

लेकिन पहले मान लीजिए कि एक समलम्ब चतुर्भुज (नीचे दिए गए चित्र में ABCD) जैसी कोई चीज़ होती है। इसकी दो समानांतर भुजाएँ ("आधार") हैं। आइए इन आधारों को फैलाएँ, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, ताकि हमें एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त हो। इसके विकर्ण समलम्ब चतुर्भुज के दूसरे विकर्ण को खंडों में विभाजित करते हैं जिनकी लंबाई x, y, z दर्शाई गई है, जैसा कि आंकड़ा 1. संगत त्रिभुजों की समानता से, हम अनुपात प्राप्त करते हैं:

हम कहां परिभाषित करते हैं:

ओराज़ी

हम कहां परिभाषित करते हैं:

तारांकन से चिह्नित समानता के पक्षों को घटाएं:

 x - z द्वारा दोनों पक्षों को छोटा करने पर, हम प्राप्त करते हैं - a/b = 1, जिसका अर्थ है कि a + b = 0. लेकिन संख्याएँ a, b समलंब के आधारों की लंबाई हैं। यदि इनका योग शून्य है तो वे भी शून्य ही होंगे। इसका मतलब है कि ट्रेपेज़ॉइड जैसी आकृति मौजूद नहीं हो सकती है! और चूँकि आयतें, समचतुर्भुज और वर्ग भी समलम्बाकार हैं, प्रिय पाठक, यहाँ कोई समचतुर्भुज, आयत और वर्ग भी नहीं हैं ...

उस तरह

जानकारी साझा करना चार बुनियादी गतिविधियों में से सबसे दिलचस्प और चुनौतीपूर्ण है। यहां, पहली बार, हम वयस्कता में इतनी आम घटना का सामना करते हैं: "उत्तर का अनुमान लगाएं, और फिर जांचें कि क्या आपने सही अनुमान लगाया है।" इसे डैनियल के. डेनेट ("हाउ टू मेक मिस्टेक?", हाउ इट इज़ - ए साइंटिफिक गाइड टू द यूनिवर्स, सीआईएस, वारसॉ, 1997) द्वारा बहुत उपयुक्त ढंग से व्यक्त किया गया है:

"अनुमान लगाने" की यह विधि हमारे वयस्क जीवन में हस्तक्षेप नहीं करती है - शायद इसलिए कि हम इसे जल्दी सीख लेते हैं और अनुमान लगाना कठिन नहीं है। वैचारिक रूप से, वही घटना घटित होती है, उदाहरण के लिए, गणितीय (पूर्ण) प्रेरण में। उसी स्थान पर, हम सूत्र का "अनुमान" लगाते हैं और फिर जांचते हैं कि हमारा अनुमान सही है या नहीं। छात्र हमेशा पूछते हैं: “हमें पैटर्न कैसे पता चला? इसे कैसे बाहर निकाला जा सकता है?” जब छात्र मुझसे यह प्रश्न पूछते हैं, तो मैं उनके प्रश्न को मजाक में बदल देता हूं: "मैं यह जानता हूं क्योंकि मैं एक पेशेवर हूं, क्योंकि मुझे जानने के लिए भुगतान किया जाता है।" स्कूल में छात्रों को उसी शैली में उत्तर दिया जा सकता है, केवल अधिक गंभीरता से।

व्यायाम. ध्यान दें कि हम जोड़ और गुणा लिखना सबसे छोटी इकाई से शुरू करते हैं, और भाग उच्चतम इकाई से।

दो विचारों का मिश्रण

गणित के शिक्षकों ने हमेशा बताया है कि जिसे हम वयस्क अलगाव कहते हैं वह दो वैचारिक रूप से भिन्न विचारों का मिलन है: आवास i पृथक्करण.

सबसे पहला (आवास) उन कार्यों में होता है जहां मूलरूप है:

फूट डालो-फूट डालो ये ऐसे कार्य हैं:

? (हम इस समस्या की मूल शैली को बरकरार रखते हैं, 1892 में क्राको में प्रकाशित जूलियन ज़गोज़ेलेविक्ज़ की हैंडबुक से लिया गया - ज़्लॉटी रेनिश ज़्लॉटी है, वह मुद्रा जो XNUMX वीं शताब्दी की शुरुआत तक ऑस्ट्रो-हंगेरियन साम्राज्य में प्रचलन में थी)।

अब दो समस्याओं पर विचार करें पोलिश में सबसे पुरानी गणित की पाठ्यपुस्तक, पिता टोमाज़ क्लोस (1538)। क्या यह विभाजन है या कूप? इसे उसी तरह हल करें जैसे XNUMXवीं सदी में स्कूली बच्चों को करना चाहिए:

(पोलिश से पोलिश अनुवाद: एक बैरल में एक क्वार्ट और चार बर्तन होते हैं। एक पॉट चार क्वार्ट होता है। किसी ने व्यापार के लिए 20 zł के लिए 50 बैरल शराब खरीदी। शुल्क और कर (उत्पाद शुल्क?) 8 zł होगा। कितना 8 zł कमाने के लिए एक चौथाई गेलन बेचें?)

खेल, भौतिकी, सर्वांगसमता

कभी-कभी खेल में आपको किसी चीज़ को शून्य (लक्ष्य अनुपात) से विभाजित करना पड़ता है। खैर, जज किसी तरह इससे निपटते हैं। हालाँकि, अमूर्त बीजगणित में वे एजेंडे में हैं। गैर-शून्य मात्राएँजिसका वर्ग शून्य है. इसे सरलता से भी समझाया जा सकता है.

एक फ़ंक्शन F पर विचार करें जो एक बिंदु (y, 0) को समतल (x, y) में एक बिंदु के साथ जोड़ता है। एफ क्या है?², यानी F का दोहरा निष्पादन? शून्य कार्य - प्रत्येक बिंदु की एक छवि (0,0) होती है।

अंत में, गैर-शून्य मात्राएँ जिनका वर्ग 0 है, भौतिकविदों के लिए लगभग दैनिक रोटी हैं, और a + bε रूप की संख्याएँ, जहाँ ε ≠ 0, लेकिन ε² = 0, गणितज्ञ कॉल करते हैं दोगुनी संख्या. वे गणितीय विश्लेषण और विभेदक ज्यामिति में होते हैं।

आख़िरकार, अंकगणित में कुछ तो ऐसा है जिसके कम से कम नाम में शून्य से विभाजन होता है। यह इससे आता है अनुरूपता. मान लीजिए Z पूर्णांकों के समुच्चय को निरूपित करता है। सेट Z को p से विभाजित करने का मतलब है कि हम प्रत्येक संख्या (पूर्णांक) को कुछ अन्य के बराबर करते हैं, अर्थात्, जिनके द्वारा उनका अंतर विभाज्य है। इसलिए, जब हमारे पास संख्या 0, 1, 2, 3, 4 के अनुरूप पाँच प्रकार की संख्याएँ होती हैं - 5 से विभाजित करने पर संभावित अवशेष। सूत्र इस प्रकार लिखा जाता है:

मॉड जब अंतर एक से अधिक हो।

= 2 के लिए, हमारे पास केवल दो संख्याएँ हैं: 0 और 1। पूर्णांकों को ऐसे दो वर्गों में विभाजित करना उन्हें सम और विषम में विभाजित करने के बराबर है। चलिए अब इसे बदल देते हैं. अंतर सदैव 1 से विभाज्य होता है (कोई भी पूर्णांक 1 से विभाज्य होता है)। क्या =0 लेना संभव है? आइए प्रयास करें: दो संख्याओं का अंतर शून्य का गुणज कब होता है? केवल तभी जब ये दोनों संख्याएँ बराबर हों। इसलिए पूर्णांकों के एक सेट को शून्य से विभाजित करना समझ में आता है, लेकिन यह दिलचस्प नहीं है: कुछ नहीं होता है। हालाँकि, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि यह प्राथमिक विद्यालय से ज्ञात अर्थ में संख्याओं का विभाजन नहीं है।

ऐसी हरकतें तो वर्जित हैं ही, साथ ही लंबा-चौड़ा गणित भी।

चावल। 2. तुलना द्वारा संख्याओं की पहचान

(पेड़ 5 और पेड़ 2)