कोरोनावायरस और गणित शिक्षा - आंशिक रूप से आदेशित संग्रह

जिस वायरस ने हम पर हमला किया है, वह तेजी से शैक्षिक सुधार कर रहा है। खासकर शिक्षा के उच्च स्तर पर। इस विषय पर, आप एक लंबा निबंध लिख सकते हैं, निश्चित रूप से दूरस्थ शिक्षा पद्धति पर डॉक्टरेट शोध प्रबंधों की एक धारा होगी। एक निश्चित दृष्टिकोण से, यह जड़ों की ओर और स्व-अध्ययन की भूली हुई आदतों की ओर वापसी है। तो, उदाहरण के लिए, क्रेमेनेट्स सेकेंडरी स्कूल में (क्रेमेनेट्स में, अब यूक्रेन में, जो 1805-31 में अस्तित्व में था, 1914 तक वनस्पति और 1922-1939 में अपने सुनहरे दिनों का अनुभव किया)। छात्रों ने वहां अपने दम पर अध्ययन किया - जब वे सीख चुके थे तब ही शिक्षक सुधार, अंतिम स्पष्टीकरण, कठिन स्थानों में मदद आदि लेकर आए थे। ई. जब मैं छात्र बना, तो उन्होंने यह भी कहा कि हमें स्वयं ज्ञान प्राप्त करना चाहिए, कि केवल आदेश दें और विश्वविद्यालय में कक्षाएं भेजें। लेकिन वापस तो यह सिर्फ एक सिद्धांत था ...

2020 के वसंत में, मैं अकेला नहीं था जिसने पाया कि पाठ (व्याख्यान, अभ्यास आदि सहित) बहुत सारे काम की कीमत पर दूर से (Google मीट, माइक्रोसॉफ्ट टीम्स, आदि) बहुत प्रभावी ढंग से आयोजित किए जा सकते हैं। शिक्षक की ओर से और दूसरी ओर केवल "शिक्षा प्राप्त करने" की इच्छा; लेकिन कुछ आराम के साथ भी: मैं घर पर अपनी कुर्सी पर बैठा हूं और पारंपरिक व्याख्यानों में छात्र अक्सर कुछ और भी कर रहे होते हैं। इस तरह के प्रशिक्षण का प्रभाव मध्य युग की पारंपरिक कक्षा-पाठ प्रणाली से भी बेहतर हो सकता है। जब वायरस नरक में चला जाएगा तो इसमें क्या बचेगा? मुझे लगता है... काफी कुछ। लेकिन हम देखेंगे.

आज मैं आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के बारे में बात करूंगा। यह आसान है। चूँकि एक गैर-रिक्त समुच्चय X में एक द्विआधारी संबंध होने पर उसे आंशिक क्रम संबंध कहा जाता है

(तादेउज़ कोटारबिंस्की, 1886-1981, दार्शनिक,

1957-1962 में पोलिश विज्ञान अकादमी के अध्यक्ष)।

रिफ्लेक्सिव, यानी प्रत्येक ∈ के लिए ",
राहगीर, अर्थात्। यदि ", और ", तो ",
अर्ध-असममित, अर्थात्। ("∧")→ =

एक स्ट्रिंग निम्नलिखित संपत्ति के साथ एक सेट है: किन्हीं भी दो तत्वों के लिए, यह सेट या तो "या y" है। एंटीचैन है ...

बंद करो बंद करो! क्या इससे कुछ समझा जा सकता है? निश्चित रूप से यह है। लेकिन क्या कोई भी पाठक (जो अन्यथा नहीं जानता) पहले से ही समझ गया है कि यहाँ क्या है?

सोचो मत! और यह गणित पढ़ाने का सिद्धांत है। स्कूल में भी. सबसे पहले, एक सभ्य, सख्त परिभाषा, और फिर, जो लोग बोरियत से नहीं सोते हैं वे निश्चित रूप से कुछ समझेंगे। यह पद्धति "महान" गणित शिक्षकों द्वारा थोपी गई थी। उसे साफ-सुथरा और सख्त होना चाहिए। यह सत्य है कि अंत में ऐसा ही होना चाहिए। गणित एक सटीक विज्ञान होना चाहिए (यह सभी देखें: ).

मुझे यह स्वीकार करना होगा कि जिस विश्वविद्यालय में मैं वारसॉ विश्वविद्यालय से सेवानिवृत्त होने के बाद काम करता हूं, वहां मैंने कई वर्षों तक पढ़ाया भी है। केवल इसमें ठंडे पानी की कुख्यात बाल्टी थी (इसे वैसे ही रहने दें: एक बाल्टी की आवश्यकता थी!)। अचानक, उच्च अमूर्तता हल्की और सुखद हो गई। मुद्दा तय करें: आसान का मतलब आसान नहीं है। हल्के वजन वाले मुक्केबाज के लिए भी कठिन समय होता है।

मैं अपनी यादों पर मुस्कुराऊंगा. मुझे गणित की मूल बातें संकाय के तत्कालीन डीन द्वारा सिखाई गईं, जो एक प्रथम श्रेणी के गणितज्ञ थे, जो संयुक्त राज्य अमेरिका में लंबे समय तक रहने के बाद हाल ही में आए थे, जो उस समय अपने आप में कुछ असाधारण था। मुझे लगता है कि जब वह थोड़ी सी पोलिश भूल गई थी तो वह थोड़ी दंभी थी। उसने पुरानी पोलिश "वह", "इसलिए", "अज़ेल" का अत्यधिक उपयोग किया और इस शब्द के साथ आई: "अर्ध-असममित संबंध"। मुझे इसका उपयोग करना अच्छा लगता है, यह वास्तव में सटीक है। मुझे पसंद है। लेकिन मैं छात्रों से इसकी मांग नहीं करता. इसे आमतौर पर "कम एंटीसिममेट्री" कहा जाता है। दस सुन्दर.

बहुत समय पहले, क्योंकि सत्तर के दशक (पिछली शताब्दी के) में गणित के शिक्षण में एक महान, आनंदमय सुधार हुआ था। यह एडुआर्ड गिएरेक के शासनकाल की छोटी अवधि की शुरुआत के साथ मेल खाता है - दुनिया के लिए हमारे देश का एक निश्चित उद्घाटन। "बच्चों को उच्च गणित भी पढ़ाया जा सकता है," महान शिक्षकों ने कहा। बच्चों के लिए विश्वविद्यालय के व्याख्यान "फंडामेंटल ऑफ मैथमैटिक्स" का सारांश तैयार किया गया था। यह न केवल पोलैंड में बल्कि पूरे यूरोप में एक प्रवृत्ति थी। समीकरण को हल करना ही काफी नहीं था, हर विवरण की व्याख्या करनी थी। निराधार न होने के लिए, प्रत्येक पाठक समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकता है:

लेकिन छात्रों को प्रत्येक चरण का औचित्य सिद्ध करना था, प्रासंगिक कथनों का संदर्भ लेना था, आदि। यह पदार्थ की तुलना में रूप की क्लासिक अतिरेक थी। मेरे लिए अब आलोचना करना आसान है. मैं भी कभी इस दृष्टिकोण का समर्थक था। यह रोमांचक है... उन युवाओं के लिए जो गणित में रुचि रखते हैं। यह निश्चित रूप से (और, ध्यान के लिए, मेरे लिए) था।

लेकिन गीतात्मक विषयांतर बहुत हो गया, आइए मुद्दे पर आते हैं: एक व्याख्यान जो "सैद्धांतिक रूप से" दूसरे वर्ष के पॉलिटेक्निक छात्रों के लिए था और यदि यह नहीं होता तो नारियल के टुकड़े जितना सूखा होता। मैं थोड़ा अतिशयोक्ति कर रहा हूं...

आप के लिए सुप्रभात। आज का विषय आंशिक सफाई है। नहीं, यह लापरवाह सफाई का संकेत नहीं है। सबसे अच्छी तुलना यह विचार करना होगा कि कौन सा बेहतर है: टमाटर का सूप या क्रीम केक। उत्तर स्पष्ट है: किस पर निर्भर करता है। मिठाई के लिए - कुकीज़, और एक पौष्टिक व्यंजन के लिए: सूप।

गणित में हम संख्याओं से निपटते हैं। उन्हें क्रमबद्ध किया गया है: वे बड़े और छोटे हैं, लेकिन दो अलग-अलग संख्याओं में से एक हमेशा कम होता है, जिसका अर्थ है कि दूसरा बड़ा होता है। वे वर्णमाला के अक्षरों की तरह क्रम में व्यवस्थित हैं। कक्षा लॉग में, क्रम इस प्रकार हो सकता है: एडमज़िक, बागिंस्काया, चॉजनिकी, डर्कोवस्की, एल्गेट, फ़िलिपोव, ग्रेज़ेकनिक, खोलनिकी (वे मेरी कक्षा के मित्र और सहपाठी हैं!)। हमें इसमें भी कोई संदेह नहीं है कि माटुसियाक "माटुशेलियन्स्की" माटुसजेव्स्की "मैटिसियाक"। "दोहरी असमानता" के प्रतीक का अर्थ "पूर्ववर्ती" है।

मेरे हाइकिंग क्लब में हम वर्णानुक्रम में सूचियाँ बनाने का प्रयास करते हैं, लेकिन नाम से, उदाहरण के लिए अलीना व्रोनस्का "वारवारा काकज़ारोव्स्का", सीज़र बौशित्ज़, आदि। आधिकारिक रिपोर्टों में क्रम उलट दिया जाएगा। गणितज्ञ वर्णमाला क्रम को शब्दकोषीय कहते हैं (एक शब्दकोष कमोबेश एक शब्दकोश की तरह होता है)। दूसरी ओर, यह क्रम, जिसमें दो भागों (माइकल स्ज़ुरेक, एलिना व्रोनस्का, स्टानिस्लाव स्मारज़िनस्की) से बने नाम में हम पहले दूसरे भाग को देखते हैं, गणितज्ञों के लिए एक विरोधी-लेक्सिकोग्राफ़िक आदेश है। लंबे शीर्षक, लेकिन बहुत ही सरल सामग्री।

1. रैखिक क्रम: 1899 में निर्मित पोधले से हाबोव्का-जकोपेन रेलवे के मार्ग पर स्टेशन और स्टॉप (संक्षिप्ताक्षरों का डिकोडिंग मैं पाठक पर छोड़ता हूं)।

ऐसे सभी आदेशों को लाइन ऑर्डर कहा जाता है। हम क्रम में ऑर्डर करते हैं: पहला, दूसरा, तीसरा। पहले बिंदु से लेकर अंतिम बिंदु तक सब कुछ क्रम में है। इसका हमेशा कोई मतलब नहीं होता. आख़िर हम लाइब्रेरी में किताबों को ऐसे-वैसे नहीं, बल्कि खंडों में व्यवस्थित करते हैं। केवल विभाग के भीतर ही हम इसे रैखिक रूप से (आमतौर पर वर्णानुक्रम में) व्यवस्थित करते हैं।

2. रैखिक क्रम: कार का इंजन शुरू करते समय, हम एक सहमत क्रम में कार्य करते हैं।

बड़ी परियोजनाओं, विशेष रूप से टीम वर्क के साथ, अब हमारे पास एक रैखिक क्रम नहीं है। आइए एक नजर डालते हैं अंजीर। 3. हम एक छोटा सा होटल बनाना चाहते हैं। हमारे पास पहले से ही पैसा है (सेल 0)। हम परमिट तैयार करते हैं, सामग्री एकत्र करते हैं, निर्माण शुरू करते हैं और साथ ही एक विज्ञापन अभियान भी चलाते हैं, कर्मचारियों की तलाश करते हैं, इत्यादि। जब हम "10" पर पहुंचते हैं, तो पहले मेहमान चेक इन कर सकते हैं (उदाहरण श्री डोंब्रोव्स्की और क्राको के उपनगरीय इलाके में उनके छोटे होटल की कहानियों से)। हमारे पास है अरेखीय क्रम - कुछ चीजें समानांतर में हो सकती हैं।

अर्थशास्त्र में, आप महत्वपूर्ण पथ की अवधारणा के बारे में जानेंगे। यह उन क्रियाओं का समूह है जिन्हें क्रमिक रूप से किया जाना चाहिए (और इसे गणित में एक श्रृंखला कहा जाता है, उस पर एक क्षण में और अधिक), और जो सबसे अधिक समय लेती हैं। निर्माण समय कम करना महत्वपूर्ण पथ का पुनर्गठन है। लेकिन इसके बारे में अन्य व्याख्यानों में अधिक (मैं आपको याद दिलाता हूं कि मैं "विश्वविद्यालय व्याख्यान" पढ़ रहा हूं)। हम गणित पर ध्यान देते हैं।

चित्र 3 जैसे आरेखों को हस्से आरेख कहा जाता है (हेल्मुट हस्से, जर्मन गणितज्ञ, 1898-1979)। प्रत्येक जटिल प्रयास की योजना इसी प्रकार बनाई जानी चाहिए। हम क्रियाओं का क्रम देखते हैं: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10। गणितज्ञ इन्हें स्ट्रिंग कहते हैं। संपूर्ण विचार में चार श्रृंखलाएँ हैं। इसके विपरीत, गतिविधि समूह 1-2-3-4, 5-6-7 और 8-9 एंटीचेन हैं। उन्हें यही कहा जाता है. तथ्य यह है कि किसी विशेष समूह में कोई भी कार्य पिछले वाले पर निर्भर नहीं करता है।

4. यह भी एक हस्से आरेख है।

चलो चलते हैं आंकड़ा 4. क्या प्रभावशाली है? लेकिन यह किसी शहर का मेट्रो मानचित्र हो सकता है! भूमिगत रेलमार्गों को हमेशा लाइनों में समूहीकृत किया जाता है - वे एक से दूसरे तक नहीं जाते हैं। रेखाएँ व्यक्तिगत रेखाएँ हैं। शहर में, चावल. 4 हाँ ओवन पंक्ति (याद रखें ओवन वर्तनी "बोल्डेम" - पोलिश में इसे अर्ध-मोटी कहा जाता है)।

इस आरेख (चित्र 4) में एक छोटा पीला एबीएफ, एक छह-स्टेशन एसीएफकेपीएस, एक हरा एडीजीएल, एक नीला डीजीएमआरटी और सबसे लंबा लाल है। गणितज्ञ कहेंगे: इस हस्से आरेख पर है ओवन जंजीरें यह लाल रेखा पर है सात स्टेशन: ऐनरुव. एंटीचेन्स के बारे में क्या? वो वहां थे सात. पाठक पहले ही देख चुके हैं कि मैंने शब्द को दो बार रेखांकित किया है सात.

प्रत्याशा यह स्टेशनों का ऐसा समूह है कि बिना स्थानांतरण के इनमें से किसी से दूसरे तक जाना असंभव है। जब हम इसे थोड़ा "समझते" हैं, तो हम निम्नलिखित एंटीचेन देखेंगे: ए, बीसीएलटीवी, डीई, एफजीएचजे, केएमएन, पीयू, एसआर। कृपया जांचें, उदाहरण के लिए, किसी भी बीसीएलटीवी स्टेशन से बिना बदले, या अधिक सटीक रूप से: नीचे दिखाए गए स्टेशन पर वापस आए बिना किसी अन्य बीसीटीएलवी तक यात्रा करना संभव नहीं है। कितने एंटीचेन हैं? सात. कौन सा आकार सबसे बड़ा है? सेंकना (फिर से बोल्ड में)।

विद्यार्थियों, आप कल्पना कर सकते हैं कि इन संख्याओं का संयोग आकस्मिक नहीं है। यह। इसे 1950 में रॉबर्ट पामर दिलवर्थ (1914-1993, अमेरिकी गणितज्ञ) द्वारा खोजा और सिद्ध किया गया (अर्थात हमेशा सत्य)। पूरे सेट को कवर करने के लिए आवश्यक लाइनों की संख्या सबसे बड़े एंटीचेन के आकार के बराबर है, और इसके विपरीत: एंटीचेन की संख्या सबसे लंबे एंटीचेन की लंबाई के बराबर है। यह हमेशा आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में होता है, यानी। जिसकी कल्पना की जा सके. हस्सेगो आरेख. यह पूरी तरह से सख्त और सही परिभाषा नहीं है. इसे ही गणितज्ञ "कार्यशील परिभाषा" कहते हैं। यह "कार्यशील परिभाषा" से कुछ अलग है। यह आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को समझने का एक संकेत है। यह किसी भी प्रशिक्षण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है: देखें कि यह कैसे काम करता है।

अंग्रेजी संक्षिप्त रूप है - यह शब्द स्लाव भाषाओं में सुंदर लगता है, कुछ-कुछ थीस्ल जैसा। कृपया ध्यान दें कि थीस्ल भी शाखाबद्ध होते हैं।

बहुत सुंदर, लेकिन इसकी जरूरत किसे है? प्रिय छात्रों, आपको परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए इसकी आवश्यकता है और संभवतः, इसका अध्ययन करने का यह एक अच्छा कारण है। मैं सुन रहा हूँ, क्या प्रश्न? मैं सुन रहा हूँ, सर, खिड़की के नीचे से। ओह, सवाल यह है कि क्या यह आपके जीवन में कभी प्रभु के लिए उपयोगी होगा? शायद नहीं, लेकिन निश्चित रूप से आपसे अधिक बुद्धिमान किसी व्यक्ति के लिए... शायद किसी जटिल आर्थिक परियोजना में महत्वपूर्ण पथ का विश्लेषण करने के लिए?

मैं यह पाठ जून के मध्य में लिख रहा हूं, वारसॉ विश्वविद्यालय में रेक्टर के चुनाव चल रहे हैं। मैंने इंटरनेट उपयोगकर्ताओं की कई टिप्पणियाँ पढ़ी हैं। "शिक्षित लोगों" के प्रति घृणा (या "घृणा") की आश्चर्यजनक मात्रा है। किसी ने स्पष्ट रूप से लिखा है कि विश्वविद्यालय शिक्षा प्राप्त लोग विश्वविद्यालय शिक्षा प्राप्त लोगों की तुलना में कम जानते हैं। बेशक, मैं चर्चा में नहीं जाऊंगा। मुझे बस इस बात का दुख है कि पोलिश पीपुल्स रिपब्लिक में स्थापित राय लौट रही है कि सब कुछ एक हथौड़ा और छेनी से किया जा सकता है। मैं गणित पर लौटता हूं।

डिलवर्थ का प्रमेय इसमें कई दिलचस्प अनुप्रयोग हैं। उनमें से एक को विवाह प्रमेय के रूप में जाना जाता है।अंजीर। 6).

इसमें महिलाओं का एक समूह (अधिक संभावना लड़कियों का) और पुरुषों का थोड़ा बड़ा समूह है। हर लड़की कुछ इस तरह सोचती है: "मैं इससे शादी कर सकती हूं, इससे, इससे, लेकिन अपने जीवन में किसी तीसरे से कभी नहीं।" और इसी तरह, हर किसी की अपनी-अपनी प्राथमिकताएँ होती हैं। हम एक आरेख बनाते हैं, जिससे उनमें से प्रत्येक को उस व्यक्ति का एक तीर मिलता है जिसे वह वेदी के उम्मीदवार के रूप में अस्वीकार नहीं करता है। प्रश्न: क्या जोड़ों का मिलान किया जा सकता है ताकि प्रत्येक को ऐसा पति मिले जिसे वह स्वीकार कर सके?

फिलिप हॉल का प्रमेय, कहते हैं कि यह किया जा सकता है - कुछ शर्तों के तहत, जिसकी मैं यहां चर्चा नहीं करूंगा (फिर अगले व्याख्यान में, छात्रों, कृपया)। हालाँकि, ध्यान दें कि यहाँ पुरुष संतुष्टि का उल्लेख बिल्कुल नहीं है। जैसा कि आप जानते हैं, यह वह महिला है जो हमें चुनती है, न कि इसके विपरीत, जैसा कि हमें लगता है (मैं आपको याद दिलाता हूं कि मैं एक लेखक हूं, लेखक नहीं)।

कुछ गंभीर गणित। हॉल का प्रमेय दिलवर्थ से कैसे अनुसरण करता है? यह बहुत सरल है। आइए चित्र 6 को फिर से देखें। वहां की जंजीरें बहुत छोटी हैं: उनकी लंबाई 2 है (दिशा में चल रही है)। छोटे आदमियों का एक समूह एक विरोधी श्रृंखला है (ठीक है क्योंकि तीर केवल ओर हैं)। इस प्रकार, आप पूरे संग्रह को उतने ही एंटी-चेन के साथ कवर कर सकते हैं जितने पुरुष हैं। तो हर महिला के पास एक तीर होगा। और इसका मतलब है कि वह उस लड़के की तरह लग सकती है जिसे वह स्वीकार करती है!!!

रुको, कोई पूछता है, क्या वह सब है? क्या यह सब ऐप है? हार्मोन किसी तरह साथ मिलेंगे और गणित क्यों? सबसे पहले, यह संपूर्ण एप्लिकेशन नहीं है, बल्कि एक बड़ी श्रृंखला में से एक है। आइए उनमें से एक को देखें। आइए (चित्र 6) का अर्थ बेहतर सेक्स के प्रतिनिधियों से नहीं, बल्कि अभियुक्त खरीदारों से है, और ये ब्रांड हैं, उदाहरण के लिए, कार, वाशिंग मशीन, वजन घटाने के उत्पाद, ट्रैवल एजेंसी के प्रस्ताव आदि। प्रत्येक खरीदार के पास ऐसे ब्रांड होते हैं जिन्हें वह स्वीकार करता है और अस्वीकार करता है। क्या सभी को कुछ बेचने के लिए कुछ किया जा सकता है और कैसे? यह वह जगह है जहां न केवल चुटकुले समाप्त होते हैं, बल्कि इस विषय पर लेख के लेखक का ज्ञान भी होता है। मुझे केवल इतना पता है कि विश्लेषण काफी जटिल गणित पर आधारित है।

स्कूल में गणित पढ़ाना एल्गोरिदम पढ़ाना है। यह प्रशिक्षण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है. लेकिन धीरे-धीरे हम गणित को नहीं बल्कि गणितीय पद्धति को पढ़ाने की ओर बढ़ रहे हैं। आज का व्याख्यान बस इसी बारे में था: हम अमूर्त मानसिक संरचनाओं के बारे में बात करते हैं, हम रोजमर्रा की जिंदगी के बारे में सोचते हैं। हम व्युत्क्रम, सकर्मक और अन्य संबंधों वाले सेटों में श्रृंखलाओं और एंटीचेन्स के बारे में बात कर रहे हैं जिनका उपयोग हम खरीदार-विक्रेता मॉडल में करते हैं। कंप्यूटर हमारे लिए सभी गणनाएँ करेगा। वह अभी गणितीय मॉडल नहीं बनाएंगे। हम आज भी अपनी सोच से जीतते हैं. किसी भी स्थिति में, मैं यथासंभव लंबे समय की आशा करता हूँ!