गणित की महानता में कैसे धोखा दिया जाए, हेरफेर किया जाए और अपने आप को अनुकूल प्रकाश में प्रस्तुत किया जाए?

नवंबर 2020 की शुरुआत में, माटुस्ज़ मोराविकी ने सेंटर फॉर मैथमैटिकल मॉडलिंग के गणितज्ञों का उल्लेख किया कि उन्होंने दिखाया कि महिलाओं की हड़ताल से संक्रमण में 5000 की वृद्धि हुई। इस केंद्र में मेरे मित्र हैं - उन्होंने केवल यह सीखा कि उन्होंने इसकी भविष्यवाणी एक से की थी श्री द्वारा भाषण - माटुस्ज़ को।

मैं इस बात पर जोर देना चाहूंगा कि शायद लेख के शीर्षक के विपरीत, मैं वर्तमान प्रधान मंत्री की न तो प्रशंसा करूंगा और न ही आलोचना करूंगा। मुझे लगता है कि गणित उनकी विशेषता नहीं है, लेकिन इस तरह की बौद्धिक कमी आपमें से अधिकांश को कोई आपत्ति नहीं होगी। और सामान्य तौर पर, क्या एक महान गणितज्ञ एक जिम्मेदार पद पर नहीं होगा, लेकिन जीवन और राजनीति में बुद्धिमान नहीं होगा? मैं यह भी उल्लेख करूंगा कि डोनाल्ड टस्क ने अपने पूर्व राष्ट्रपति अभियान में कहा था (जैसे कि मजाक में): "आप बिना डाउनलोड किए गणित की परीक्षा नहीं लिख सकते।" तुम्हें पता है, गणित के बादल मेरे जैसे ही तुम्हारे आदमी हैं। जूलियन तुविम गणित की अपनी अज्ञानता के बारे में दंभी था। और उन्होंने मुझे बोर्ड में बुलाया। मैं केवल यह नोट करूंगा कि पोलैंड में गणित में हमारा प्रीमियर था। यह (पांच बार) काज़िमिएर्ज़ बार्टेल, 1882-1941, लविव पॉलिटेक्निक के रेक्टर, एक उत्कृष्ट जियोमीटर थे। मैं उनके शासनकाल का न्याय करने का प्रयास नहीं कर सकता और न ही कर सकता हूं।

मुंह पोंछना बहुमुखी और पुराना है। इसके बारे में पतली और मोटी किताबें लिखी गई हैं। कई तरीके हैं, मैं कुछ के बारे में बात करूंगा, मैं उन लोगों से शुरू करूंगा जो मोटे धागों से सिल दिए जाते हैं। शायद अतीत में इस तरह के और भी तरीके थे, क्योंकि स्मारकीय और अपनी तरह का पहला पोलिश भाषा का शब्दकोश सैमुअल बोगुमिल लिंडे (1807-1814 में प्रकाशित) हम पढ़ते हैं:

गणितज्ञ, गणितीय गणितज्ञ, गणितीय बाजीगर।

हम सबसे सरल क्रियाओं को नहीं जानते हैं, और हम वास्तव में खुद को साबित करना चाहते हैं। कुछ साल पहले, ओल्स्ज़टीन के एक पत्रकार ने एक लंबा एक्सपोज़ लिखा था कि कैसे निर्माता हमें धोखा दे रहे हैं। उदाहरण के लिए: मक्खन के एक पैकेट पर लिखा होता है "वसा की मात्रा 85 प्रतिशत" - क्या यह घन में 85 प्रतिशत है या एक किलोग्राम में? पूरा पोलैंड चहक उठा। लेकिन केवल स्मार्ट गणित शिक्षकों (अर्थात, सभी गणित शिक्षकों!) ने कई साल पहले हमारे पूर्व प्रधानमंत्रियों में से एक काज़िमिर मार्टसिंकेविच के तर्क में एक त्रुटि देखी। मैं इसे देखने में आसान बनाने के लिए संख्याओं को थोड़ा बदल दूँगा। उन्होंने कुछ इस तरह कहा: हमने सड़क निर्माण पर 150 मिलियन ज़्लॉटी खर्च किए, और ब्रसेल्स से 50 मिलियन प्राप्त किए, इसलिए हम केवल 100 खर्च करेंगे। हमने 50 प्रतिशत की बचत की। ठीक है, 50/100 50 प्रतिशत है। गलती कहाँ है? और अगर हमारे पास 100 मिलियन होते तो हम कितना बचा पाते? गलती सूक्ष्म है। प्रतिशत की बात करें तो यह स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है कि हम उन्हें कहाँ से प्राप्त करते हैं। यह एक बहुत ही सामान्य गलती है जो शिक्षक करते हैं। वे कहते हैं कि एक प्रतिशत एक सौवां है। इसकी अनुमति नहीं है! सौ प्रतिशत, लेकिन यह हमेशा कुछ होता है। यदि हम 150 खर्च करें और 100 खर्च करें, तो हम 50 में से 150 बचाते हैं, जो 33% है। प्रधान मंत्री मार्टसिंकेविच एक भौतिकी शिक्षक थे। या तो वह इतना बुरा शिक्षक था कि उसे प्रतिशत की समझ ही नहीं थी, या उसने जान-बूझकर सबसे अच्छा राजनीतिक प्रभाव पाने के लिए उनमें हेराफेरी की। मैं वास्तव में बाद वाले को पसंद करूंगा। मैं आपको युद्ध-पूर्व का एक बहुत पुराना किस्सा याद दिलाता हूँ। "पिताजी, मैंने आज 20 सेंट बचाए!" "यह बहुत अच्छा है, बेटा! कैसे? "मैंने स्कूल में ट्राम की सवारी नहीं की, मैं उसके पीछे भागा!" "आह, बेटा, दूसरी बार टैक्सी के लिए दौड़ो - तुम 5 ज़्लॉटी बचाओगे!"

विचार, विचार! तथाकथित रचनात्मक लेखांकन के अधिकांश विचार कानूनी खामियों (घुटने पर लिखा कानून = बकवास) पर आधारित हैं और औसत की धारणा से भटके हुए हैं। यहां एक उदाहरण दिया गया है: औसत मजदूरी कम करते हुए सभी की मजदूरी कैसे बढ़ाई जा सकती है? सरल: जो पहले से ही काम कर रहे हैं उन्हें एक छोटा वेतन दें, और ऐसा करने में, बहुत से कम वेतन वाले लोगों को किराए पर लें। औसत गिरेगा… और वैश्विक वेतन बिल के संदर्भ में, यह सवाल से बाहर था। कथित तौर पर, 1989 तक, एक राज्य के स्वामित्व वाले उद्यम के एक निश्चित निदेशक ने इस तरह से व्यवहार किया।

आप समाज के कई हलकों की गणितीय निरक्षरता का उपयोग करके और गणित (??) को साहित्य (??) के साथ जोड़कर सीधे लड़ सकते हैं। यहां एक डेमोगोगिक लेकिन काल्पनिक पाठ है (यद्यपि एक वास्तविक प्रकाशन पर आधारित, 2010 से पहले ध्यान देने के लिए)।

नर्सों की स्थिति बेहतर होगी। दो साल पहले, सोचैक्यू काउंटी में एक नर्स का औसत शुद्ध वेतन PLN 1500 था। पिछले साल, सरकार ने स्वास्थ्य देखभाल पर खर्च में आधा अरब ज़्लॉटी की वृद्धि की। यह पिछले वर्षों की तुलना में दोगुना होगा। हर्मेनेगिल्डा कोत्सिउबिन्स्कसेंट्रल क्लिनिकल हॉस्पिटल की एक नर्स कहती हैं: पिछले महीने मेरा वेतन पीएलएन 4500 था। इसका मतलब है स्वास्थ्य देखभाल राजस्व में भारी, तीन गुना वृद्धि।

क्या कोई धोखा देने वाला है? भले ही संख्याएं समान हों, आप देख सकते हैं कि हम यहां क्या तुलना कर रहे हैं। औसत वेतन प्रांतीय अस्पताल में एक महीने में एक व्यक्ति के वेतन के साथ। हो सकता है कि हर्मेनगिल्डा नर्सों की मुखिया हों, हो सकता है कि इस महीने उनकी कई अतिरिक्त शिफ्ट हों, और इसके अलावा, सीआरएच का एक विशेष वेतनमान है? इसके अलावा, उल्लिखित PLN 1500 शुद्ध मजदूरी है और यह निर्दिष्ट नहीं है कि सुश्री कोकिबिंस्का का वेतन शुद्ध है या सकल। एक व्यक्ति के लिए आधा अरब एक बहुत बड़ी राशि है, लेकिन राष्ट्रीय स्तर पर इसका क्या अर्थ है? हम तुरंत ध्यान दें कि "आधा अरब" "500 मिलियन" की तुलना में बेहतर प्रचार लगता है। 500 मिलियन ज़्लॉटी क्या गए, इसकी सूचना नहीं दी गई है। यह ज्ञात नहीं है कि 500 मिलियन zł से दोगुना क्यों है।

मैं अपने सीखने के परिणामों को कैसे सुधार सकता हूँ? स्कूल X की शिक्षा अधिकारियों द्वारा खराब शैक्षिक परिणामों के लिए आलोचना की जाती है (यानी कम GPA, हालांकि ये अलग-अलग चीजें हैं!) प्रधानाध्यापक चीजों को थोड़ा बेहतर बनाने का तरीका ढूंढते हैं। वह कई छात्रों को कक्षा ए से कक्षा बी में स्थानांतरित करता है और अपने लक्ष्य को प्राप्त करता है: दोनों कक्षाओं में औसत स्कोर में वृद्धि हुई है।

यह कैसे हो सकता है? अगर कक्षा ए में कोई छात्र है जिसका जीपीए कक्षा ए में औसत से कम है, लेकिन कक्षा सी में औसत से अधिक है, तो उसे कक्षा बी में ले जाने का समान प्रभाव होगा। विश्वास इस प्रभाव पर आधारित है मेचिस्लाव चुमास i लेशेक मज़ानो, "गैलिशियन इनसाइक्लोपीडिया" (प्रकाशन गृह "एनाबासिस", क्राको) के लेखक, कि जिस दिन सिगिस्मंड III वासा और उसका दरबार वारसॉ में चले गए, उस दिन इन दोनों शहरों में बुद्धि का औसत स्तर बढ़ गया।

हम डेटा की व्याख्या करते हैं। यह सबसे आम गैर-प्राथमिक खिंचाव है। मैं सबसे बेवकूफ, लेकिन विश्वसनीय उदाहरण से शुरू करूंगा। कई, कई साल पहले, अब बंद हो चुकी एक्सप्रेस विएज़ोर्नी ने बताया कि वारसॉ विश्वविद्यालय में औसत वेतन 15000 24 ज़्लॉटी (तब ज़्लॉटी) होगा। रेक्टर को उच्चतम वेतन, 6, ​​सबसे कम नौसिखिए सहायक, 15. औसत XNUMX प्राप्त करना था !!! छेड़छाड़ औसत की अवधारणा बसने का विषय है।

यहाँ दो और उदाहरण हैं। क्या आप जानते हैं कि पोलैंड में औसत व्यक्ति के दो से कम पैर होते हैं? ठीक है, हाँ: ऐसे लोग हैं जिनके पास एक है, लेकिन किसी के पास तीन नहीं हैं! दूसरा उदाहरण अधिक सूक्ष्म है। खैर, मेरी पत्नी और मेरे पास अपनी-अपनी कारें हैं। मेरा वाहक बहुत अधिक ईंधन की खपत करता है, 12,5 लीटर प्रति 100 किमी। इसका मतलब है कि मुझे 100 किमी के लिए 8 लीटर चाहिए। मेरी पत्नी के पास एक छोटी मित्सुबिशी है - यह प्रति 8 किमी में 100 लीटर की खपत करती है। यह भी बहुत कुछ है, लेकिन गणना सरल होने के लिए, डेटा को थोड़ा संसाधित करने की आवश्यकता है। हम अक्सर उसी की सवारी करते हैं। इसलिए, हमारी दो कारों की औसत ईंधन खपत अंकगणितीय औसत 8 और 12,5 है। जोड़ें, 2 से विभाजित करें। यह 10,25 लीटर निकलता है। बेशक, यह महत्वपूर्ण है कि हम अक्सर उसी तरह सवारी करें। ऐसे में हेराफेरी की गुंजाइश कहां है?

ओह, यहाँ। क्या आप जानते हैं कि अमेरिकी ईंधन की खपत की गणना अलग तरीके से की जाती है? वे उत्तर देंगे: "मैं एक गैलन से इतने मील ड्राइव करता हूँ।" आइए गैलन को लीटर और मील से किलोमीटर में बदलने दें, लेकिन इसे उपरोक्त कारों पर लागू करें: मेरा और हमारी शादी का एकमात्र समीक्षा बोर्ड। मैं केवल 8 किमी प्रति लीटर (100 को 12,5 से विभाजित), मेरी पत्नी 12,5 किमी (100 को 8 से विभाजित) ड्राइव करूंगा। औसतन, हमें एक लीटर लगेगा ... इन आंकड़ों का अंकगणितीय माध्य। हम पहले ही एक बार इसकी गणना कर चुके हैं। यह 10 और एक चौथाई निकला - इस बार 10,25 किलोमीटर।

आइए यूरोपीय मानकों पर वापस जाएं। अगर मैं एक लीटर में 10,25 किमी ड्राइव करता हूं, तो आपको 100 के लिए कितने लीटर की आवश्यकता होगी? आइए एक कैलकुलेटर लेते हैं: 100 को 10,25 से भाग देने पर ... 9,76 आता है। हमारी कारों की औसत खपत 9,76 है...और इससे पहले यह 10,25 थी। गलती कहाँ है? नहीं! दरअसल, गणित में नहीं, बल्कि "हम समान रूप से अक्सर यात्रा करते हैं" शब्दों की व्याख्या में। सावधानीपूर्वक विश्लेषण से पता चलेगा कि पहली व्याख्या में इसका अर्थ है "हम प्रति माह समान किलोमीटर चलाते हैं", और दूसरे में "हम समान मात्रा में गैसोलीन का उपयोग करते हैं।" एक तीसरा चर जोड़ा जा सकता है: हम उतना ही समय गाड़ी चलाने में लगाते हैं (पत्नी बहुत तेज गाड़ी चलाती है)... और यह अलग होगा। अगर हम कुछ नाप रहे हैं, तो हमारे पास मापने वाला टेप होना चाहिए।

अधिक सूक्ष्म स्थितियाँ। सिम्पसन का विरोधाभास। हम पता लगाते हैं कि रूसी को दूर करने के लिए क्या बेहतर है: कोका-कोला या पेप्सी-कोला। हम महिलाओं और पुरुषों पर परीक्षण करते हैं। यहाँ डेटा है। लगभग सभी गणना स्मृति में की जा सकती हैं।

कृपया, पाठक, बैठ जाओ। बस भावना से बाहर नहीं होने के लिए। पुरुषों में डैंड्रफ दूर करने के लिए सबसे अच्छा पेय कौन सा है? मैंने बड़ी संख्याओं को लाल रंग में और छोटी संख्याओं को नीले रंग में चिह्नित किया है। 25, 20 से अधिक है, है ना? सज्जनो: रूसी के लिए कोक खरीदें! महिलाओं के बारे में क्या? शायद दूसरी तरफ? नहीं, 60> 53. देवियों, एक कोक है।

कंपनी टेलीविजन पर विज्ञापन खरीदती है, जहां एक खुश जोड़े (पुराने तरीके से: एक पुरुष और एक महिला) कोका-कोला की मदद से इस हल्की बीमारी से छुटकारा दिलाते हैं। लेकिन एक पेप्सी विज्ञापन है। ठीक है, क्योंकि यहां और यहां दोनों जगहों पर परीक्षण में 250 लोग थे, जिसका अर्थ है कि वे समान रूप से विभाजित थे। कोका-कोला ने 80 लोगों (32%) की मदद की, पेप्सी ने 100 लोगों की, 40% की। स्क्रीन पर, भीड़ अपना डैंड्रफ बहा रही है जबकि कैमरे के सामने पेप्सी की एक कैन लुढ़क रही है। "हमारी पीढ़ी पहले ही चुन चुकी है!"

गलती कहाँ है? नहीं। मेरा मतलब है, गणित ठीक है। या यों कहें बस अंकगणित. गणितीय रूप से सही होने के लिए, हमें K के समान M के समान अनुपात के साथ तुलनीय नमूने लेने चाहिए। अन्यथा, गणना का कोई मतलब नहीं है, जैसे कि हम एक मच्छर और एक हाथी के औसत वजन की गणना कर रहे थे। हम दो से जोड़ और भाग कर सकते हैं। हमने क्या गणना की है? खैर, एक मच्छर और एक हाथी का औसत वजन। यह हमें क्या देगा? एक धागा।

लेकिन आइए इसे राजनीति में ले जाएं, अमेरिका में, बिल्कुल। उम्मीदवारों में से एक के समर्थक, कहते हैं, बम्प रोते हैं: हम महिलाओं और सज्जनों दोनों के लिए बेहतर हैं। जोज़ेफ़ पॉडस्कोक के लिए वोट करें! ट्राइडेन समर्थक बैनरों पर लिखेंगे: हम दुनिया में सबसे अच्छे हैं। 3 डेंस (डोनाल्ड) के साथ बतख को वोट दें।

ठीक है, यह वास्तव में कैसा है? यह सबसे कठिन हिस्सा है। "वास्तव में" का क्या अर्थ है? हम कह सकते हैं: "सच वह है जो वास्तविकता से सहमत है।" हालाँकि, एक और सवाल उठता है: "वास्तविकता के अनुरूप" को कैसे मापें? लेकिन यह अब गणित नहीं है, और मैं इस पर टिके रहना चाहूंगा, क्योंकि केवल यहीं मुझे आत्मविश्वास महसूस होता है।

इस विरोधाभास के बारे में (कहा जाता है द सिम्पसन्स विरोधाभास) कई, कई अन्य पर आधारित है। यह सौ वर्षों से गणित में जाना जाता है, लेकिन (अपेक्षाकृत) हाल ही में सामाजिक विज्ञानों ने इसमें रुचि ली है। यह सब इस तथ्य से शुरू हुआ कि एक अमेरिकी विश्वविद्यालय में रेक्टर ने देखा कि लड़कियों को लड़कों की तुलना में बहुत कम स्वीकार किया जाता है। उसने डीन से रिपोर्ट मांगी... और यह पता चला कि प्रत्येक संकाय में लड़कों की तुलना में लड़कियों के लिए स्वीकृत उम्मीदवारों का अनुपात अधिक था - और इसके विपरीत। मेरा सुझाव है कि पाठक विश्वविद्यालय विभागों की स्थिति के लिए पेप्सी और कोका-कोला के उदाहरण को फिर से देखें।

और भी सूक्ष्म स्थिति। गणितीय दुनिया में हर कोई "नेब्रास्का उदाहरण" जानता है। नेब्रास्का में कहीं एक स्टोर में तोड़फोड़ की गई और कैश रजिस्टर लूट लिया गया। प्रत्यक्षदर्शियों को केवल यह याद था कि यह एक अजीब जोड़े द्वारा किया गया था: दाढ़ी के साथ एक अंधेरे चमड़ी वाला आदमी और प्राच्य सुविधाओं वाली एक महिला। वे एक पीले रंग की टोयोटा में चले गए (फिल्म की तरह टायर चिल्ला रहे थे)। कुछ घंटों बाद, पुलिस ने हिरासत में लिया ... एक पीली टोयोटा, जिसमें दाढ़ी वाला एक अफ्रीकी अमेरिकी था, जिसके साथ एक एशियाई महिला भी थी। "यह आप है!"। हथकड़ी, अदालत। एक अनुभवी गणितज्ञ ने गणना की कि ऐसा सेट (नीग्रो + एशियाई + पीला टोयोटा) इतना अनूठा है कि 99,999% लुटेरे चाहते हैं। उन्होंने याद किए गए शब्दों को हॉल में फेंक दिया: प्रारंभिक घटनाएं, बर्नौली आरेख, संयोजन। दंपती बैठने चले गए। हालांकि, उन्होंने सबसे अच्छे गणितज्ञ को काम पर रखा, जिन्होंने अपील में कहा: "अच्छा। खुद के लिए न्यायाधीश, मेरे पूर्ववर्ती ने गणना की कि संभावना है कि दो यात्रियों के साथ एक यादृच्छिक रूप से सामना की गई कार एक काले रंग की एक पीली टोयोटा होगी और एक जापानी महिला ऐसी और ऐसी है। लेकिन यहां हमें एक और समस्या, सशर्त संभाव्यता को हल करने की आवश्यकता है। एक और जोड़ी (या तीन, यदि आप मशीन चालू करते हैं) से मिलने की संभावना क्या है, अगर हम जानते हैं कि ऐसा पहले से मौजूद है। »

हमें नहीं पता कि न्यायाधीश ने किसी तर्क को समझा या नहीं। शायद केवल यह कि उत्तर स्थिति की पसंद पर निर्भर करता है। इतना ही काफी था। उसने सजा रद्द कर दी।

सिर पर डंडे से वार। हमने हमेशा ऐसी लोकतंत्र का इलाज किया है (1)।

बार भयानक हैं: कोयले की कीमतें दोगुनी हो गई हैं। संख्याओं को देखना आश्वस्त करने वाला है: वे वास्तव में PLN 161 प्रति टन से बढ़कर PLN 169 हो गए हैं (व्यायाम: कितने प्रतिशत से?) लेकिन चूंकि ज्यादातर लोग नेत्रहीन सीखते हैं, वे ग्राफ को याद रखेंगे, न कि संख्याएं। राजनीतिक चर्चाओं में जाने के बिना, मुझे कहना होगा कि इसी तरह की पद्धति का इस्तेमाल सरकार (2020 की गर्मियों से एक) द्वारा किया गया था, जिसमें कैंसर पर खर्च में वृद्धि की कल्पना की गई थी। यह इस सरकार की आलोचना नहीं है। अगला वाला भी इस पद्धति का उपयोग करेगा। यह सुरक्षित है और तत्काल प्रभाव ("देखा") देता है।

चलो मास्क पहनो। महामारी के प्रसार के नियम सरल और "स्वयं में" कठोर हैं। संक्रमित लोगों की संख्या तेजी से बढ़ रही है, जितने पहले से ही हैं। इस तरह हिमस्खलन चला जाता है। गणित यही कहता है। हालाँकि, एक बड़ा "लेकिन" है - शायद एक से अधिक। सबसे पहले, ऐसा है, जबकि "कुछ नहीं होता"। जब जंगल में हिमस्खलन बंद हो जाता है, जब हम सभी के बुद्धिमान व्यवहार से महामारी धीमी हो जाती है, तो हम गणित को इतना "धन्यवाद" नहीं देंगे जितना एक अलग मॉडल बनाते हैं। हां, एक अलग गणितीय मॉडल (जैसा कि नेब्रास्का स्टोर डकैती के उदाहरण में है)। गणित, एक सुंदर विज्ञान, केवल दुनिया को समझने में मदद करता है। इतने सारे, लेकिन केवल इतने सारे। आइए देखें: हम एक पोल के साथ लगभग छह मीटर की छलांग लगाते हैं, इसके बिना हम 2,50 मीटर भी नहीं कूद सकते। फिर डंडे को हाथ में लेकर कूद पड़ो। वह एक उपद्रव का नर्क है, है ना?

के उपयोग सामाजिक विज्ञान में गणित यह कठिन, खतरनाक और इससे भी बदतर, आकर्षक है। टाट्रा के पारखी इसे ड्रेज खड्ड के साथ जोड़ते हैं: गार्नेट से च्योर्नी स्टाव तक एक सौम्य, घास वाला वंश ... यह ऊपर से कैसा दिखता है। जल्द ही खड्ड एक जाल में बदल जाता है जिससे केवल TOPR, टाट्रा वालंटियर रेस्क्यू सर्विस ही हमें बचा सकती है।

गणितज्ञ इस वृद्धि को हिमस्खलन और महामारियों में घातीय वृद्धि कहते हैं। जैसा कि मैंने पहले ही लिखा है, इस वृद्धि को दबाया जा सकता है, लेकिन दोबारा नहीं। हालांकि, आइए एक ही वक्र के दो भूखंडों को देखें (बस एक अलग पैमाने पर)। कौन समझेगा, मैं इस फलन का सूत्र देता हूँ: y = 2^xसत्ता के लिए दो। कृपया चार्ट देखें। विकास का तीव्र त्वरण किस बिंदु से होता है? हर कोई इंगित करेगा: यह कमोबेश एक बड़े बिंदु के साथ चिह्नित बिंदु के करीब है। लेकिन पहले ग्राफ पर यह मान 1,5 के करीब है, दूसरे पर यह 3 से अधिक है, और तीसरे पर यह 4,5 है। यदि किसी प्रकार के सड़क प्रदर्शन होते हैं, तो हम कह सकते हैं: कृपया, प्रदर्शन के क्षण से, वक्र ऊपर चला गया, तेजी से ऊपर चला गया। गणित की महिमा में! और यह केवल घातीय वक्र की एक संपत्ति है। संगत पैमाने और बिंदु जहां से तेज त्वरण शुरू होता है, को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है (2)।

राष्ट्रपति चुनाव ... अमेरिका में, बिल्कुल। नवंबर 2020 का तमाशा हमें आज भी याद है। देश, जो अभी भी नंबर 1 की शक्ति है, ने पृष्ठ संख्या का सामना नहीं किया है। अंत में पता चला कि जो बिडेन न केवल उसने अधिक चुनावी वोट जीते, बल्कि यदि साधारण बहुमत से निर्णय लिया गया होता तो वह जीत जाता। जिस स्थिति का मैं वर्णन करूंगा, उसमें कोई गणितीय हेरफेर नहीं है - केवल एक उदाहरण है कि कैसे चुनाव के परिणाम अपनाए गए संकल्प पर निर्भर हो सकते हैं। यदि आप जानते हैं, तो विरोध करना कठिन है। फुटबॉल में एक डिफेंडर हैंडबॉल प्रतिबंध को गलत मान सकता है, लेकिन अगर इसे नजरअंदाज किया जाता है, तो जुर्माना लगाया जाएगा।

कल्पना कीजिए कि निम्नलिखित ग्रीस के राष्ट्रपति पद के लिए चल रहे हैं: अपोलोनियस, यूक्लिड, बगला, पाइथागोरस i ऐसा. मतदाता जो भी चुनेगा अध्यक्ष बनेगा। उनमें से 100 हैं। वे लोकप्रिय वोट से चुने गए थे, और फिर संसद में प्रतिनिधित्व करने वाले दलों, यानी सर्कस मैक्सिमस ने अपनी प्राथमिकताओं का क्रम स्थापित किया। कुछ गड़बड़ है क्योंकि सर्कस मैक्सिमस एक लैटिन नाम है, ग्रीक नहीं। लेकिन आइए सूत्रों के साथ बहस न करें।

कौन बनेगा राष्ट्रपति? आइए देखें कि यह कैसे समन्वय पर निर्भर करता है। पार्टी की प्राथमिकताओं को इस तरह समझा जाना चाहिए कि उसके मतदाता अगले दौर के बाद चुनाव में शेष सूची में से पहले व्यक्ति को वोट दें।

1. यदि सत्तारूढ़ यह निर्धारित करता है कि सबसे अधिक मतदाताओं को पहले स्थान पर रखने वाला उम्मीदवार जीत जाता है, तो पाइथागोरस जीत जाएगा, क्योंकि वह 25 + 9 = 34 मतदाताओं द्वारा चुना जाएगा। उदाहरण के लिए, जब हम सबसे अच्छे छात्र को चुनते हैं तो स्कूल में ऐसा ही होता है। हमारे स्थान पर: पाइथागोरस जनता द्वारा चुना जाता है!
2. आधुनिक राष्ट्रपति चुनावों में, दूसरे दौर की प्रणाली का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। हम एक उम्मीदवार को वोट देते हैं, लेकिन अगर उनमें से कोई भी 50 प्रतिशत से अधिक नहीं है, तो दूसरा दौर आयोजित किया जाता है। विजेता वह है जो पूर्ण बहुमत प्राप्त करता है, अर्थात अपने प्रतिद्वंद्वी से केवल अधिक वोट प्राप्त करता है। ऐसे में पाइथागोरस (34 वोट) और थेल्स (20) दूसरे दौर में जाएंगे। दूसरे दौर में मतदाता अपनी पसंद के अनुसार वोट बांटते हैं। पाइथागोरस को छोड़कर सभी पाइथागोरस को थेल्स पसंद करते हैं। यह एक सामान्य स्थिति है जहां एक पार्टी के पास एक कठिन मतदाता होता है और सामान्य अनिच्छा से घिरा होता है। इसलिए अतिरिक्त समय में पाइथागोरस को एक भी वोट नहीं मिलेगा। परिणाम 66:34 थेल्स के पक्ष में और एक निर्णायक जीत। इसी तरह की स्थिति 2001 में स्लोवाकिया में हुई थी, जहां पहले दौर में स्पष्ट रूप से जीतने वाला एक उम्मीदवार दूसरे में हार गया था। 2005 में पोलैंड में राष्ट्रपति चुनावों में भी ऐसा ही था: पहले दौर के बाद दूसरे में नेता हार गए थे। लंबे समय तक जीवित रहें राष्ट्रपति की कहानियां!
3. साइकिल चलाने में तथाकथित ऑस्ट्रेलियाई प्रणाली का उपयोग किया जाता है। ट्रैक के प्रत्येक लैप के बाद, अंतिम को हटा दिया जाता है। चुनावी कानून के इस संस्करण को "निदेशकों का चुनाव" कहा जाता है। इस प्रणाली के तहत, स्वतंत्र पोलैंड के पहले राष्ट्रपति गेब्रियल नारुतोविक्ज़ चुने गए थे। यह हमारे ग्रीस में कैसा दिखेगा?

मामला और भी पेचीदा है। कृपया ट्रैक करें। पहले दौर में, यूक्लिड को सबसे कम वोट मिले और वह बाहर हो गया (क्या अफ़सोस है, इतने अच्छे गणितज्ञ!) पार्टी तब दूसरे दौर में अपनी सूची में दूसरे के लिए मतदान करती है: त्साप्ल्या। दूसरे राउंड में हेरॉन को 19+10=29 वोट मिले। एपोलोनियस का सफाया हो गया है (17 वोट)। पार्टी करें, और फिर हेरॉन को वोट दें। तीसरे राउंड में पाइथागोरस (फिक्स्ड इलेक्टोरल) को 34, थेल्स को 20 और हेरॉन को 29+17 = 46 वोट मिले। कहानियाँ निकल चुकी हैं। फेलिसियन (पार्टी बी) पाइथागोरियन को भी पसंद नहीं करते - वे हेराल्ड को पसंद करते हैं। अन्य भी, स्थिर पार्टियों A और E को छोड़कर। अंतिम मोड़ में, बगुला आसानी से पाइथागोरस 66:34 को हरा देता है। विवाट अध्यक्ष हेरोन!

     4. यूरोविज़न सांग प्रतियोगिता में, सूची में पहले स्थान के लिए 12 अंक, दूसरे स्थान के लिए 10, तीसरे के लिए 9, और इसी तरह से सम्मानित किया गया। आइए समान स्कोर के बारे में 6-4-3-2-1 मान लें। इसलिए तीन एथलेटिक्स मैचों में अंक दिए गए (तीन टीमों, प्रत्येक प्रतियोगिता में दो खिलाड़ी, 1958 में पोलैंड ने यूएसए और ग्रेट ब्रिटेन के खिलाफ जीत हासिल की!) हमारे परिणाम इस प्रकार होंगे:

Euklides:       4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz:  2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras:     6+1+1+1+1+6=16.

यूनानियों, यहाँ आपका राष्ट्रपति यूक्लिड है!

     5. पाठकों का अनुमान है कि हमें केवल वोटों की गिनती करने की आवश्यकता है ताकि यह पता चले कि अपोलोनियस सबसे अच्छा है। वास्तव में, अपोलोनियस सबसे अच्छा है - क्योंकि वह सबसे अच्छा है। अपोलोनियस से हर कोई हार जाता है! क्यों?

कितने मतदाताओं के लिए अपोलोनियस को हेरॉन से ऊपर रखा गया है? आइए गणना करें: 25+17+9=51 का मतलब बहुमत है। ज्यादा नहीं, लेकिन फिर भी।

अपोलोनियस यूक्लिड से कितना आगे है? 20 + 19 + 17 = 56, उनमें से अधिकांश।

कितने लोग थेल्स को अपोलोनियस पसंद करते हैं: 19+17+10+9=55>50।

अंत में, पाइथागोरस के अपोलोनियस ने 20 में से 19 + 17 + 10 + 66 = 100 मतदाताओं को प्राथमिकता दी।

तब से - ग्रीक लोग, तार्किक रूप से सोचने में सक्षम - तब से, सबसे अधिक, एपोलोनियस किसी अन्य उम्मीदवार को पसंद करते हैं; आखिरकार, यह वही है जो हमें अगले कार्यकाल के लिए शासन करना चाहिए! एपोलोनियस, हमारे निर्वाचित राष्ट्रपति के करीब आओ! आप हमारे 44 होंगे।

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